Экзаменационный билет №1: 1. Первообразная функция. 2. Вычислить интеграл: 4x^3dx...

Решение задач из экзаменационного билета №1: 1. Первообразная функции — это такая функция $F(x)$, производная которой равна данной функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. 2. Интеграл: $\int 4x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C = x^4 + C$. 3. Характеристики дискретной случайной величины X: * **Математическое ожидание M(X):** $M(X) = \sum x_i p_i = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$. * **Дисперсия D(X):** $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$. $M(X^2) = 1^2 \cdot 0.2 + 2^2 \cdot 0.5 + 3^2 \cdot 0.3 = 1 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.5 + 9 \cdot 0.3 = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$. $D(X) = 4.9 - (2.1)^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$. * **Среднеквадратичное отклонение $\sigma(X)$:** $\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.49} = 0.7$. Решение задач из экзаменационного билета №2: 1. Определенный интеграл — это предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю. Формула Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — любая первообразная функции $f(x)$. 2. Производная: $y = x^2 + 2x - 1$ $y' = (x^2)' + (2x)' - (1)' = 2x + 2$. 3. Комбинаторика: Нужно выбрать 4 книги из 10. Порядок не важен, используем формулу сочетаний: $C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$ способов. **Ответ:** Билет №1: $M(X)=2.1, D(X)=0.49, \sigma(X)=0.7$. Билет №2: $y'=2x+2, 210$ способов.