1. В корзине лежат 5 синих, 6 красных и 9 зелёных мячиков. С какой вероятностью случайно вытащенный мячик окажется красным?

1. Общее количество мячиков: $5 + 6 + 9 = 20$. Вероятность вытащить красный: $P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$. 2. $\log_{3}(5x + 1) = -4$ $5x + 1 = 3^{-4}$ $5x + 1 = \frac{1}{81}$ $5x = \frac{1}{81} - 1 = -\frac{80}{81}$ $x = -\frac{16}{81}$ 3. $\int_{3}^{7} (2x - 5)^{-\frac{1}{2}} dx = \left. \sqrt{2x - 5} \right|_{3}^{7}$ $= \sqrt{2(7) - 5} - \sqrt{2(3) - 5} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$. 4. $(\frac{1}{2})^{-x-3} = 4$ $(2^{-1})^{-x-3} = 2^{2}$ $2^{x+3} = 2^{2}$ $x + 3 = 2$ $x = -1$. 5. Площадь поверхности фигуры изменяется пропорционально квадрату коэффициента подобия ($k^2$). Если ребра увеличили в 15 раз, то площадь увеличится в $15^2 = 225$ раз. 6. $\sqrt{x + 2} = -x$ Возводим в квадрат: $x + 2 = x^{2}$, откуда $x^{2} - x - 2 = 0$. Корни уравнения: $x_{1} = 2, x_{2} = -1$. Проверка: при $x = 2$ получаем $\sqrt{4} = -2$ (неверно), при $x = -1$ получаем $\sqrt{1} = -(-1)$ (верно). Ответ: $-1$. 7. Объем конуса $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 6$. Так как радиус основания конуса равен радиусу шара ($r = R$), а высота конуса равна радиусу шара ($h = R$), то $V_c = \frac{1}{3} \pi R^3 = 6$. Объем шара $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3 = 4 \cdot (\frac{1}{3} \pi R^3) = 4 \cdot 6 = 24$. 8. $3^{\frac{x^2 - 7x + 8}{x-3}} > 3^{0}$, значит $\frac{x^2 - 7x + 8}{x-3} > 0$. Корни числителя: $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2} \approx 1,44$ и $5,56$. Знаменатель равен 0 при $x = 3$. Методом интервалов получаем решение: $x \in (\frac{7 - \sqrt{17}}{2}; 3) \cup (\frac{7 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$.