Экзаменационный билет № 20: Решите логарифмическое уравнение: log4^2 x + log4 √x - 1,5 = 0. Радиусы оснований усеченного конуса 3м и 7м, образующая 5м. Найдите площадь основного сечения.

Привет! Давай разберем задачи из твоего билета. Обрати внимание, что первые два вопроса — это теоретические темы, а 3 и 4 — практические задачи. ### 3. Решение логарифмического уравнения Уравнение: $\log_4^2 x + \log_4 \sqrt{x} - 1,5 = 0$ 1. Используем свойство $\log_4 \sqrt{x} = \log_4 x^{0,5} = 0,5 \log_4 x$. Уравнение примет вид: $\log_4^2 x + 0,5 \log_4 x - 1,5 = 0$ 2. Сделаем замену $t = \log_4 x$: $t^2 + 0,5t - 1,5 = 0$ 3. Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: $2t^2 + t - 3 = 0$ 4. Находим корни через дискриминант или теорему Виета: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$ $t_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$ $t_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -1,5$ 5. Делаем обратную замену: а) $\log_4 x = 1 \implies x = 4^1 = 4$ б) $\log_4 x = -1,5 \implies x = 4^{-1,5} = (2^2)^{-1,5} = 2^{-3} = \frac{1}{8} = 0,125$ **Ответ: 4; 0,125.** ### 4. Нахождение площади осевого сечения усеченного конуса Осевое сечение усеченного конуса — это равнобедренная трапеция. 1. Дано: радиусы оснований $R = 7$ м, $r = 3$ м, образующая $l = 5$ м. 2. В трапеции основания равны диаметрам: $a = 2R = 14$ м, $b = 2r = 6$ м. 3. Высота трапеции $h$ является высотой конуса. Найдем её через прямоугольный треугольник, где гипотенуза $l=5$, а катет — разность радиусов: $(R-r) = 7-3 = 4$ м. $h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$ м. 4. Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$: $S = \frac{14+6}{2} \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30$ м². **Ответ: 30 м².**