lg^2(x)^2 - 15 Lg(x) + 2 <= 0

Для решения данного неравенства выполним следующие шаги: 1. Область допустимых значений (ОДЗ): так как присутствует логарифм $\lg(x)$, то выражение внутри логарифма должно быть строго больше нуля: $x > 0$. 2. Преобразуем уравнение. Неравенство записано как $\lg^2(x^2) - 15\lg(x) + 2 \le 0$. Воспользуемся свойством логарифма: $\lg(x^n) = n \cdot \lg(x)$. Тогда $\lg(x^2) = 2\lg(x)$. Подставим это в наше неравенство: $(2\lg(x))^2 - 15\lg(x) + 2 \le 0$ $4\lg^2(x) - 15\lg(x) + 2 \le 0$ 3. Введем замену переменной: пусть $t = \lg(x)$. Тогда неравенство примет вид квадратного: $4t^2 - 15t + 2 \le 0$ 4. Найдем корни квадратного трехчлена $4t^2 - 15t + 2 = 0$ через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 225 - 32 = 193$ Корни: $t = \frac{15 \pm \sqrt{193}}{8}$ Так как $\sqrt{193} \approx 13.89$, корни примерно: $t_1 = \frac{15 - 13.89}{8} \approx 0.139$ $t_2 = \frac{15 + 13.89}{8} \approx 3.611$ Точное решение неравенства относительно $t$: $\frac{15 - \sqrt{193}}{8} \le t \le \frac{15 + \sqrt{193}}{8}$ 5. Вернемся к переменной $x$ ($t = \lg(x)$): $\frac{15 - \sqrt{193}}{8} \le \lg(x) \le \frac{15 + \sqrt{193}}{8}$ 6. Потенцируем по основанию 10: $10^{\frac{15 - \sqrt{193}}{8}} \le x \le 10^{\frac{15 + \sqrt{193}}{8}}$ **Ответ:** $x \in \left[ 10^{\frac{15 - \sqrt{193}}{8}}; 10^{\frac{15 + \sqrt{193}}{8}} \right]$