1. Вычислить log11 363 - log11 3

Привет! Давай разберем твою экзаменационную работу по математике. Вот решения заданий: 1. Используем свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$: $\log_{11} 363 - \log_{11} 3 = \log_{11} (363/3) = \log_{11} 121 = 2$, так как $11^2 = 121$. 2. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $\lim_{x \to -3/2} \frac{(2x-3)(2x+3)}{2x+3} = \lim_{x \to -3/2} (2x-3) = 2 \cdot (-1.5) - 3 = -3 - 3 = -6$. 3. Используем правила дифференцирования $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(\sin x)' = \cos x$: $y' = (3x^{-6})' - (2\sin x)' = 3 \cdot (-6)x^{-7} - 2\cos x = -18x^{-7} - 2\cos x = -\frac{18}{x^7} - 2\cos x$. 4. Найдем производную: $y' = 5x^4 - 4 \cdot 3x^2 - 2x + 1/2 = 5x^4 - 12x^2 - 2x + 0.5$. Теперь подставим $x=1$: $y'(1) = 5(1)^4 - 12(1)^2 - 2(1) + 0.5 = 5 - 12 - 2 + 0.5 = -8.5$. 5. Представим функцию как $f(x) = (x-9x^3)^{-1/4}$ и используем правило производной сложной функции: $f'(x) = -\frac{1}{4}(x-9x^3)^{-5/4} \cdot (1-27x^2) = -\frac{1-27x^2}{4\sqrt[4]{(x-9x^3)^5}} = \frac{27x^2-1}{4(x-9x^3)\sqrt[4]{x-9x^3}}$. 6. Стационарные точки — это точки, где $y'=0$: $y' = 4x^3 - 24x^2 = 4x^2(x-6) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 6$. 7. Найдем критические точки: $y' = 3x^2 - 48 = 3(x^2-16) = 3(x-4)(x+4) = 0$. $x_1 = 4$, $x_2 = -4$. Вторая производная: $y'' = 6x$. $y''(4) = 24 > 0$ (минимум), $y''(-4) = -24 < 0$ (максимум). Точки экстремума: $x=4$ (минимум), $x=-4$ (максимум). 8. Найдем производную: $y' = 3x^2 - 12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2) = 0$. Критическая точка $x=2$ лежит на отрезке $[0, 3]$. Значения в точках: $y(0) = 0^3 - 12 \cdot 0 = 0$. $y(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 = 8 - 24 = -16$. $y(3) = 3^3 - 12 \cdot 3 = 27 - 36 = -9$. Наименьшее: $-16$, наибольшее: $0$. 9. Производная $f'(x) = 1/x^2$. В точке $x_0=1$: $k = f'(1) = 1/1^2 = 1$. Тангенс угла наклона касательной равен коэффициенту $k=1$. Значит, угол $\alpha = 45^\circ$ или $\pi/4$ радиан. 10. Производная сложной функции $(\ln u)' = 1/u \cdot u'$: $y' = \frac{1}{\cos x} \cdot (\cos x)' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.