1. Решить уравнения: а) sin(4x - пи/2) = корень(2)/2

Привет! Давай решим задания. Фотография повернута, но условия хорошо читаются. Будем идти по порядку. ### 1. Решить уравнения: **а)** $\sin(4x - \frac{\pi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Применим формулу приведения: $\sin(4x - \frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2} - 4x) = -\cos(4x)$. Тогда $-\cos(4x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \cos(4x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $4x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. $x = \pm \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$. **б)** $5^{(x^2-6)} = 25^{x}$ $5^{(x^2-6)} = (5^2)^x = 5^{2x}$. Так как основания равны, приравняем показатели: $x^2 - 6 = 2x \Rightarrow x^2 - 2x - 6 = 0$. Корни через дискриминант: $D = 4 - 4(1)(-6) = 28$. $x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$. **в)** $(\log_2 x)^2 - 4\log_2 x + 3 = 0$ Пусть $t = \log_2 x$. Тогда $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 1, t_2 = 3$. 1) $\log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2$. 2) $\log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8$. ### 2. Решить неравенство: $(\frac{1}{2})^{(x^2-6)} \le 16^{(x+1)}$ $(2^{-1})^{(x^2-6)} \le (2^4)^{(x+1)} \Rightarrow 2^{-x^2+6} \le 2^{4x+4}$. $-x^2 + 6 \le 4x + 4 \Rightarrow x^2 + 4x - 2 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 + 4x - 2 = 0$: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16+8}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$. Решение: $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{6}] \cup [-2 + \sqrt{6}; +\infty)$. ### 3. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: $f(x) = 6x^2 - 2x^3 + 3$ $f'(x) = 12x - 6x^2 = -6x(x - 2)$. Критические точки: $x=0, x=2$. - На $(-\infty; 0)$ $f'(x) < 0$ (функция убывает). - На $(0; 2)$ $f'(x) > 0$ (функция возрастает). - На $(2; +\infty)$ $f'(x) < 0$ (функция убывает). Экстремумы: $x_{min}=0$ ($f(0)=3$), $x_{max}=2$ ($f(2)=6 \cdot 4 - 2 \cdot 8 + 3 = 24 - 16 + 3 = 11$). ### 4. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [1; 3]: $f(x) = -3x^3 - x^2 - 5$ на $[1; 3]$. $f'(x) = -9x^2 - 2x = -x(9x + 2)$. На интервале $[1; 3]$ производная всегда отрицательна, значит функция строго убывает. Наибольшее значение в начале отрезка: $f(1) = -3(1)^3 - 1^2 - 5 = -9$. Наименьшее значение в конце отрезка: $f(3) = -3(27) - 9 - 5 = -81 - 14 = -95$. ### 5. Первообразная для $f(x) = 5x + 3x^2$ через точку P(-2; 6): $F(x) = \int (5x + 3x^2) dx = \frac{5x^2}{2} + x^3 + C$. Подставим $x=-2, F(x)=6$: $6 = \frac{5 \cdot 4}{2} + (-8) + C \Rightarrow 6 = 10 - 8 + C \Rightarrow 6 = 2 + C \Rightarrow C = 4$. Искомая функция: $F(x) = 2.5x^2 + x^3 + 4$. ### 6. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды: Сторона основания $a = 10$, апофема (высота боковой грани) $l = 13$. Площадь основания $S_{осн} = a^2 = 100$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot l) = 2 \cdot 10 \cdot 13 = 260$. $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 260 = 360$. ### 7. Вероятность: Всего книг: 5 новых + 5 старых = 10 книг. Выбираем 2 книги. Всего исходов: $C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$. а) Обе новые: $C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$. Вероятность: $\frac{10}{45} = \frac{2}{9}$. б) Хотя бы один старый: $1 - P(обе новые) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.