1. Решить уравнения: а) cos(3x - π/3) = 1/2

Привет! Давай решим задания из твоего варианта. ### 1. Решить уравнения: а) $\cos(3x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ $3x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$ 1) $3x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow 3x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z$ 2) $3x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow 3x = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{3}, n \in Z$ б) $27^{x^2-1} = 9^{x+2}$ $(3^3)^{x^2-1} = (3^2)^{x+2}$ $3^{3x^2-3} = 3^{2x+4}$ $3x^2 - 3 = 2x + 4$ $3x^2 - 2x - 7 = 0$ $D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 4 + 84 = 88$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{22}}{3}$ в) $(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0$ Пусть $t = \log_2 x$, тогда $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 2$. 1) $\log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2$ 2) $\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4$ ### 2. Решить неравенства: а) $(\frac{2}{3})^{5x-1} \ge (\frac{2}{3})^9$ Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, знак меняется: $5x - 1 \le 9 \Rightarrow 5x \le 10 \Rightarrow x \le 2$ б) $\log_6(4x - 4) \le 2$ $4x - 4 > 0 \Rightarrow x > 1$ $4x - 4 \le 6^2 \Rightarrow 4x \le 40 \Rightarrow x \le 10$ Ответ: $x \in (1; 10]$ ### 4. Наибольшее и наименьшее значения $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ на $[0; 2]$ $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ $3(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3$ (3 не входит в отрезок) $f(0) = 2$ $f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$ $f(2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$ Наибольшее: 6, наименьшее: 2. ### 5. Первообразная для $f(x) = 3x^2 - 2x$, проходящая через $P(2; 4)$ $F(x) = x^3 - x^2 + C$ $4 = 2^3 - 2^2 + C \Rightarrow 4 = 8 - 4 + C \Rightarrow C = 0$ $F(x) = x^3 - x^2$ ### 7. Задача на вероятность Секция 1: 6 новых, 4 старых (всего 10). Секция 2: 9 новых, 1 старый (всего 10). а) Обе новые: $P = \frac{6}{10} \cdot \frac{9}{10} = \frac{54}{100} = 0,54$ б) Хотя бы один старый: $1 - P(\text{оба новые}) = 1 - 0,54 = 0,46$