Постройте график функции y = (x^4 - 5x^2 + 4) / ((x - 2)(x + 1)) и определите, при каких значениях параметра c прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для начала упростим выражение функции $y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{(x-2)(x+1)}$. 1. Разложим числитель на множители. Пусть $t = x^2$, тогда $t^2 - 5t + 4 = 0$. Корни по теореме Виета $t_1 = 1, t_2 = 4$. Значит, $x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$. 2. Теперь подставим это в функцию: $y = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$ 3. Сократим на $(x-2)$ и $(x+1)$, учитывая область определения (ОДЗ): $x \neq 2$ и $x \neq -1$. $y = (x-1)(x+2) = x^2 + x - 2$, при $x \neq 2, x \neq -1$. 4. Найдем значения функции в «выколотых» точках: Если $x = 2$, $y = 2^2 + 2 - 2 = 4$. Точка $(2; 4)$ выколота. Если $x = -1$, $y = (-1)^2 + (-1) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2$. Точка $(-1; -2)$ выколота. График функции — это парабола $y = x^2 + x - 2$ с двумя выколотыми точками $(2; 4)$ и $(-1; -2)$. Вершина параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} = -0.5$. $y_0 = (-0.5)^2 - 0.5 - 2 = 0.25 - 2.5 = -2.25$. Прямая $y = c$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если: - $c$ находится строго ниже вершины параболы: $c < -2.25$ (точек нет, но вопрос был про одну точку — при $c = -2.25$ одна точка (вершина)). - $c$ равно значению $y$ в выколотой точке, где парабола могла бы пересечься с горизонтальной прямой в другом месте, но не пересекается из-за выколотости. - $c$ равно $y$ в выколотой точке, если эта точка — вершина (здесь нет). Анализ: - При $c = -2.25$ (вершина) — 1 точка. - При $c = -2$ (значение в выколотой точке $x = -1$) — прямая проходит через выколотую точку $(-1; -2)$, значит, пересечений нет в этой точке, но пересекает параболу в другой точке $x^2 + x - 2 = -2 \Rightarrow x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1)=0$, корни $x=0$ и $x=-1$. Так как $x=-1$ выколота, остается только точка $(0; -2)$. Значит, при $c = -2$ — 1 точка. - При $c = 4$ (значение в выколотой точке $x = 2$) — прямая проходит через выколотую точку $(2; 4)$, парабола пересекается в другой точке $x^2 + x - 2 = 4 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow (x+3)(x-2)=0$, корни $x=-3$ и $x=2$. Так как $x=2$ выколота, остается только точка $(-3; 4)$. Значит, при $c = 4$ — 1 точка. Ответ: $c \in \{-2.25; -2; 4\}$.