1. Решить уравнения: а) log8(2x + 1) = 0

1. Решение уравнений: а) $\log_{8}(2x + 1) = 0 \implies 2x + 1 = 8^0 \implies 2x + 1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$. б) $2^{x^2 - 5} = 4^{x + 1} \implies 2^{x^2 - 5} = (2^2)^{x + 1} \implies x^2 - 5 = 2x + 2 \implies x^2 - 2x - 7 = 0$. Дискриминант $D = 4 - 4(-7) = 32$. Корни $x = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2}$. в) $2\cos^2 x - 7\cos x + 3 = 0$. Пусть $t = \cos x, |t| \le 1$. $2t^2 - 7t + 3 = 0$. $D = 49 - 24 = 25$. $t_1 = \frac{7+5}{4} = 3$ (не подходит, $|t| > 1$), $t_2 = \frac{7-5}{4} = 0.5$. $\cos x = 0.5 \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2. Решение неравенств: а) $(\frac{1}{5})^{3x-6} \le 125 \implies 5^{-(3x-6)} \le 5^3 \implies -3x + 6 \le 3 \implies -3x \le -3 \implies x \ge 1$. б) $\log_{3}(3x - 2) \le 2$. ОДЗ: $3x - 2 > 0 \implies x > 2/3$. $3x - 2 \le 3^2 \implies 3x \le 11 \implies x \le 11/3$. Ответ: $x \in (2/3; 11/3]$. 3. Исследование $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$. Критические точки $x=1, x=3$. Функция возрастает на $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$, убывает на $[1; 3]$. $f_{max}(1) = 1-6+9-2 = 2$, $f_{min}(3) = 27-54+27-2 = -2$. 4. Н/б и н/м $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ на $[0; 3]$: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1)$. На отрезке $[0; 3]$ критическая точка $x=2$. $f(0) = 5$, $f(2) = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$, $f(3) = 54 - 27 - 36 + 5 = -4$. Н/б значение: 5, Н/м значение: -15. 5. Первообразная $f(x) = 4x - x^2$ через $P(3; 2)$: $F(x) = \int (4x - x^2)dx = 2x^2 - \frac{x^3}{3} + C$. $2 = 2(3)^2 - \frac{3^3}{3} + C \implies 2 = 18 - 9 + C \implies 2 = 9 + C \implies C = -7$. $F(x) = 2x^2 - \frac{x^3}{3} - 7$. 6. Параллелепипед: Стороны основания $a=6, b=8$. Диагональ основания $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. Высота $h = d \cdot \tan 45^\circ = 10 \cdot 1 = 10$. $S_{полн} = 2(ab + ah + bh) = 2(48 + 60 + 80) = 2(188) = 376$ см$^2$. 7. Вероятность: 1-я секция: 7 нов, 3 ст (всего 10). 2-я секция: 8 нов, 2 ст (всего 10). а) Обе новые: $\frac{7}{10} \cdot \frac{8}{10} = \frac{56}{100} = 0.56$. б) Хотя бы один старый: $1 - P(\text{обе новые}) = 1 - 0.56 = 0.44$.