1. Решить уравнения: а) cos(3x - пи/3) = 1/2

### Решение заданий #### 1. Решить уравнения: **а)** $\cos(3x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ $3x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ 1) $3x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies 3x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$ 2) $3x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies 3x = 2\pi n \implies x = \frac{2\pi n}{3}$ **б)** $27^{(x^2-1)} = 9^{(x+2)}$ $(3^3)^{(x^2-1)} = (3^2)^{(x+2)}$ $3^{3x^2-3} = 3^{2x+4}$ $3x^2 - 3 = 2x + 4$ $3x^2 - 2x - 7 = 0$ $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 4 + 84 = 88$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{22}}{3}$ **в)** $(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0$ Пусть $t = \log_2 x$. Тогда $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 1, t_2 = 2$. 1) $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$ 2) $\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$ #### 2. Решить неравенства: **а)** $(\frac{2}{3})^{5x-1} \ge (\frac{2}{3})^9$ Так как основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, знак неравенства меняется: $5x - 1 \le 9$ $5x \le 10$ $x \le 2$ **б)** $\log_6(4x - 4) \le 2$ ОДЗ: $4x - 4 > 0 \implies x > 1$. $4x - 4 \le 6^2$ $4x - 4 \le 36$ $4x \le 40$ $x \le 10$ С учетом ОДЗ: $x \in (1; 10]$. #### 3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$ Критические точки: $x_1 = -1, x_2 = 2$. Интервалы: - $(-\infty; -1)$: $f'(x) > 0$ (возрастает) - $(-1; 2)$: $f'(x) < 0$ (убывает) - $(2; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (возрастает) Экстремумы: $x = -1$ (max), $x = 2$ (min). $f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 1 = -2 - 3 + 12 + 1 = 8$. $f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = -19$. #### 4. Наибольшее и наименьшее значения: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ на $[0; 2]$ $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$. Точка $x=1$ лежит на $[0; 2]$. $f(0) = 2$ $f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$ $f(2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$ Наибольшее: 6, Наименьшее: 2. #### 5. Найти первообразную $F(x)$: $f(x) = 3x^2 - 2x$ $F(x) = x^3 - x^2 + C$ $F(2) = 4 \implies 2^3 - 2^2 + C = 4 8 - 4 + C = 4 C = 0$ $F(x) = x^3 - x^2$ #### 6. Полная поверхность цилиндра: $r = 5, h = 6$ $S_{полн} = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot 5 \cdot (5 + 6) = 10\pi \cdot 11 = 110\pi$. #### 7. Вероятность: Всего вариантов выбора: $10 \times 10 = 100$. Событие A: "Обе книги - новые". $N_1 = 6, N_2 = 6$. Количество: $6 \cdot 6 = 36$. Событие "Хотя бы один старый": $1 - P(A) = 1 - \frac{36}{100} = 1 - 0.36 = 0.64$.