Методы интегрирования неопределенного интеграла. Примеры.

### Теоретические вопросы\n\n**1. Методы интегрирования неопределенного интеграла**\nОсновные методы:\n- **Непосредственное интегрирование:** использование таблицы интегралов и свойств линейности. Пример: $\int (x^2 + 5) dx = \frac{x^3}{3} + 5x + C$.\n- **Метод подстановки (замена переменной):** введение новой переменной $u = \varphi(x)$. Пример: $\int \cos(2x) dx = [\text{пусть } t = 2x, dt = 2dx] = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.\n- **Интегрирование по частям:** формула $\int u dv = uv - \int v du$. Пример: $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$.\n\n**2. Параллелепипед и его свойства**\nПараллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.\n- Противоположные грани параллельны и равны.\n- Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.\n- Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелепипеда.\n\n### Практическое задание\n\n**1. Решение:**\n$3^{2x+13} \ge 27$\n$3^{2x+13} \ge 3^3$\n$2x + 13 \ge 3$\n$2x \ge -10$\n$x \ge -5$\n**Ответ:** $x \in [-5; +\infty)$\n\n**2. Решение:**\n$5^{x+1} - 3 \cdot 5^{x-2} = 12$\n$5 \cdot 5^x - 3 \cdot \frac{5^x}{25} = 12$\nВынесем $5^x$ за скобки:\n$5^x(5 - \frac{3}{25}) = 12$\n$5^x(\frac{125 - 3}{25}) = 12$\n$5^x \cdot \frac{122}{25} = 12$\n$5^x = 12 \cdot \frac{25}{122} = \frac{300}{122} = \frac{150}{61}$\n$x = \log_5\left(\frac{150}{61}\right)$\n\n**3. Решение:**\n$\lim_{x\to8} \frac{x^2 - 10x + 16}{x - 8}$\nПри $x=8$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 10x + 16 = 0$: $x_1=2, x_2=8$. Значит, $x^2 - 10x + 16 = (x-2)(x-8)$.\n$\lim_{x\to8} \frac{(x-2)(x-8)}{x-8} = \lim_{x\to8} (x-2) = 8-2 = 6$\n**Ответ:** 6