В многоквартирном доме на каждом этаже в любом подъезде находится одинаковое количество квартир, которое равно числу этажей. На одном из подъездов висит табличка: «Подъезд 4, кв. 217–288». Сколько всего квартир в доме, если подъездов в нём больше, чем квартир на одном этаже?

1. Найдем количество квартир в одном подъезде. В табличке указано: кв. 217–288. Количество квартир в подъезде равно: $288 - 217 + 1 = 72$ квартиры. 2. Обозначим: $n$ — число этажей, $k$ — число квартир на одном этаже. По условию, $k = n$. 3. Количество квартир в подъезде равно произведению числа этажей на число квартир на этаже: $n \times k = n \times n = n^2$. Мы знаем, что в подъезде 72 квартиры, значит $n^2 = 72$. Однако, это уравнение не имеет целых решений. Вероятно, в условии опечатка, и число квартир на этаже не равно числу этажей, либо число квартир в подъезде иное. Перечитаем: «В многоквартирном доме на каждом этаже ... одинаковое количество квартир, которое равно числу этажей». Возможно, имеется в виду: в каждом подъезде на каждом этаже одинаковое количество квартир (обозначим $x$), а число этажей ($n$) может отличаться. Но «равно числу этажей» — это прямое условие. Попробуем найти ближайший полный квадрат. $8^2 = 64$, $9^2 = 81$. Число 72 не является полным квадратом. Возможно, в 4-м подъезде квартиры считаются по порядку, и 72 квартиры — это верное число. Если $n^2=72$ не подходит, проверим логику еще раз. Может быть, число этажей — это делитель 72? Если $n$ — число этажей, $k$ — квартир на этаже, $n \cdot k = 72$. Так как $k=n$, то $n^2=72$. Это невозможно в целых числах. Предположим, что опечатка в диапазоне квартир, либо в условии «равно числу этажей». Если предположить, что в доме 9 этажей и 8 квартир на этаже (или наоборот), тогда $9 \times 8 = 72$. Но $9 \neq 8$. Давайте перечитаем внимательно: «на каждом этаже ... одинаковое количество квартир, которое равно числу этажей». Это означает $n = k$. $n \times n = 72$. Это невозможно. Возможно, имелось в виду, что число квартир на этаже — это $x$, а число этажей — $n$, и $x$ не обязательно равно $n$? Нет, сказано «равно». Давайте допустим, что в подъезде не 72, а, например, 64 или 81 квартира. Или, возможно, всего квартир в подъезде 72, и это $x \cdot n$. Если число этажей $n$, а квартир на этаже $k$, то $n \cdot k = 72$. Если $n > k$ (подъездов больше, чем квартир на этаже), то при $n \cdot k = 72$ возможные пары $(n, k)$ где $n > k$: (72, 1), (36, 2), (24, 3), (18, 4), (12, 6), (9, 8). Нам нужно, чтобы $n$ (число этажей) было равно $k$ (число квартир). Но это невозможно. Вероятно, задача подразумевает, что $n$ и $k$ связаны иначе. Но если следовать условию буквально, задача некорректна. Однако, если допустить, что 288 — это общее количество квартир в 4 подъездах, то в 1 подъезде $288 / 4 = 72$ квартиры. Это подтверждает расчет. Если «подъездов больше, чем квартир на этаже» — это $N_{подъездов} > k$. Пусть всего $M$ подъездов. Всего квартир $72 \times M$. Число квартир на этаже $k$. Условие $M > k$. Мы знаем $k \times n = 72$, где $n$ — этажность. И $k = n$. $k^2 = 72$ (ошибка). Если допустить, что «равно числу этажей» относится к чему-то другому, или число 72 неточное... Решение в рамках школьной программы часто предполагает, что $n^2$ — это точное число. Ближайшее — 81. Если в подъезде 81 квартира (например, 217-297), то этажей 9, квартир на этаже 9. Тогда $k = 9$. Условие: подъездов больше, чем квартир на этаже ($M > 9$). Значит, подъездов минимум 10. Общее количество квартир: $72 \times M$ или $81 \times M$. Так как данных недостаточно для исправления условия, точный ответ дать невозможно. Но если предположить, что 72 — это $n \cdot k$ и $n=k$, то задача не имеет решения в целых числах.