3.65. В вершине B равнобедренного треугольника ABC восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника, на котором на расстоянии h расположена точка D. Найдите расстояние от точки D до прямой AC, если AB = BC = a, AC = b.

### Задача 3.65 Пусть $BM$ — высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC=a, AC=b$), проведенная к основанию $AC$. Так как $BM \perp AC$ и $DB \perp AC$ (по теореме о трех перпендикулярах, так как $DB$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $BM$ — проекция наклонной $DM$ на эту плоскость), то $DM \perp AC$. 1. Найдем длину высоты $BM$ из прямоугольного треугольника $ABM$: $BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{a^2 - (b/2)^2} = \sqrt{a^2 - b^2/4} = \frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2}$. 2. Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ — это длина отрезка $DM$. В прямоугольном треугольнике $DBM$ ($\angle DBM = 90^\circ$): $DM = \sqrt{DB^2 + BM^2} = \sqrt{h^2 + \frac{4a^2-b^2}{4}} = \frac{\sqrt{4h^2 + 4a^2 - b^2}}{2}$. **Ответ:** $\frac{1}{2}\sqrt{4h^2 + 4a^2 - b^2}$. *** ### Задача 3.66 Дано: пирамида $SABC$, основание — прямоугольный $\triangle ABC$ ($\angle B = 90^\circ$), $\angle A = 30^\circ$, гипотенуза $AC = 5$, $SB \perp (ABC)$, $SB = \frac{5\sqrt{3}}{2}$. Найти: расстояние от $S$ до $AB$. 1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $BC$ лежит против угла $30^\circ$, значит: $BC = AC \cdot \sin(30^\circ) = 5 \cdot 0.5 = 2.5$. 2. Так как $SB \perp (ABC)$, то любая прямая в плоскости $(ABC)$, проходящая через точку $B$, перпендикулярна $SB$. В частности, $SB \perp AB$. 3. Расстояние от точки $S$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $S$ на $AB$. Так как $SB \perp AB$, то искомое расстояние равно длине отрезка $SB$ (поскольку любая точка $B$ на прямой $AB$ уже имеет минимальное расстояние до $S$, равное длине самого перпендикуляра $SB$). **Ответ:** $\frac{5\sqrt{3}}{2}$.