Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань - квадрат.

Привет! Давай разберем задачи по геометрии. ### Задача 1 Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами $a=6$ см, $b=8$ см. Гипотенуза $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см. Наибольшая боковая грань соответствует наибольшей стороне основания — гипотенузе. Значит, высота призмы $h$ равна гипотенузе $c$, то есть $h = 10$ см. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (6 + 8 + 10) \cdot 10 = 24 \cdot 10 = 240$ см$^2$. **Ответ: 240 см$^2$**. ### Задача 2 Правильная четырехугольная пирамида. Боковое ребро $l = 4$ см, угол между ребром и основанием $\alpha = 45^\circ$. В правильной пирамиде высота падает в центр квадрата (точку пересечения диагоналей). Ребро, высота и половина диагонали образуют прямоугольный треугольник. а) Половина диагонали $d/2 = l \cdot \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$. Высота пирамиды $H = l \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. б) Диагональ квадрата $d = 2 \cdot d/2 = 4\sqrt{2}$. Сторона квадрата $a = d / \sqrt{2} = 4$. Апофема боковой грани $h_a = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. $S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a) = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3}) = 16\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ: а) $2\sqrt{2}$ см, б) $16\sqrt{3}$ см$^2$**. ### Задача 3 Прямой параллелепипед, основание — ромб с диагоналями $d_1 = 10$ см, $d_2 = 24$ см. Сторона ромба $a = \sqrt{(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$ см. Меньшая диагональ ромба $d_1 = 10$ см. Угол между меньшей диагональю параллелепипеда (которая лежит над меньшей диагональю ромба) и основанием равен $45^\circ$. Высота $H = d_1 \cdot \tan(45^\circ) = 10 \cdot 1 = 10$ см. Площадь основания $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$ см$^2$. Периметр основания $P = 4a = 4 \cdot 13 = 52$ см. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P \cdot H = 52 \cdot 10 = 520$ см$^2$. Площадь полной поверхности $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 520 + 2 \cdot 120 = 520 + 240 = 760$ см$^2$. **Ответ: 760 см$^2$**.