Основанием наклонной призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором AC=AB=13 см, BC=10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины A1 является точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите площадь грани CC1B1B.

### Решение задачи 228 1. **Найдем площадь основания $\triangle ABC$.** Опустим высоту $AH$ на сторону $BC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=AC=13$), высота $AH$ является и медианой, поэтому $BH = HC = BC/2 = 5$ см. По теореме Пифагора из $\triangle ABH$: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см$^2$. 2. **Найдем высоту призмы $H$.** Проекция вершины $A_1$ — точка $M$ (точка пересечения медиан $\triangle ABC$). $AM = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см. Так как боковое ребро $AA_1$ наклонено под углом $45^\circ$ к основанию, высота призмы $H = A_1M = AM \cdot \tan 45^\circ = 8 \cdot 1 = 8$ см. 3. **Найдем площадь грани $CC_1B_1B$.** Это параллелограмм со стороной $BC = 10$ см. Боковое ребро $BB_1 = AA_1 = H / \sin 45^\circ = 8 / (\sqrt{2}/2) = 8\sqrt{2}$ см. Высота грани $CC_1B_1B$, опущенная на $BC$, равна $H = 8$ см (проекция бокового ребра на перпендикуляр к $BC$). $S_{CC_1B_1B} = BC \cdot H = 10 \cdot 8 = 80$ см$^2$. **Ответ: 80 см$^2$.** ### Решение задачи 229 Формулы: $S_{бок} = n \cdot a \cdot h$, $S_{осн} = n \cdot S_{треуг}$ (для $n=3$, $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$), для $n=4$ (квадрат), $n=6$ (6 равносторонних треугольников), $n=5$ (5 треугольников). **а) $n=3, a=10, h=15$:** $S_{бок} = 3 \cdot 10 \cdot 15 = 450$ см$^2$. $S_{осн} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \approx 43,3$ см$^2$. $S_{полн} = 450 + 2 \cdot 25\sqrt{3} = 450 + 50\sqrt{3} \approx 536,6$ см$^2$. **б) $n=4, a=12, h=8$ (в дм):** $S_{бок} = 4 \cdot 12 \cdot 8 = 384$ дм$^2$. $S_{осн} = 12^2 = 144$ дм$^2$. $S_{полн} = 384 + 2 \cdot 144 = 384 + 288 = 672$ дм$^2$. **в) $n=6, a=23, h=5$ (в дм):** $S_{бок} = 6 \cdot 23 \cdot 5 = 690$ дм$^2$. $S_{осн} = 6 \cdot \frac{23^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \cdot 529 \sqrt{3}}{2} = 793,5\sqrt{3} \approx 1374,6$ дм$^2$. $S_{полн} = 690 + 2 \cdot 793,5\sqrt{3} = 690 + 1587\sqrt{3} \approx 3439,2$ дм$^2$. **г) $n=5, a=0,4$ м ($40$ см), $h=10$ см:** $S_{бок} = 5 \cdot 40 \cdot 10 = 2000$ см$^2$. $S_{осн} = 5 \cdot \frac{a^2}{4\tan(36^\circ)} = \frac{5 \cdot 40^2}{4 \cdot 0,7265} \approx 2753$ см$^2$. $S_{полн} = 2000 + 2 \cdot 2753 = 7506$ см$^2$.