Итоговый тест по дисциплине Математика: алгебра и начала анализа; геометрия за 2 семестр обучения. Вариант 1

1. Прямая и плоскость пересекаются. 2. Прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов (или если их направляющие векторы ортогональны). 3. $f'(x) = 6(3x - 4)^5 \cdot (3x - 4)' = 6(3x - 4)^5 \cdot 3 = 18(3x - 4)^5$. 4. $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 6x + 5 = x^2 - 6x + 5$. Решаем $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 1, x_2 = 5$. 5. $v(t) = s'(t) = 4 \cdot 3t^3 - 2t = 12t^3 - 2t$. При $t=2$: $v(2) = 12(8) - 2(2) = 96 - 4 = 92$. 6. $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Пусть $f(x) = x^{100}, x=0.999, x_0=1$. $f(1) = 1, f'(x) = 100x^{99}, f'(1) = 100$. Тогда $(0.999)^{100} \approx 1 + 100(0.999 - 1) = 1 + 100(-0.001) = 1 - 0.1 = 0.9$. 7. Точки минимума $f(x)$ — это точки, где $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс. На интервале $[-13; 1]$ график $y=f'(x)$ пересекает ось $OX$ снизу вверх в 2 точках. Ответ: 2. 8. $F(x) = x^3 - \cos x + C$. 9. $F(x) = -5x + C$. 10. $\int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx = [\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x]_{-1}^{2} = (\frac{8}{3} - 12 + 18) - (-\frac{1}{3} - 3 - 9) = (\frac{8}{3} + 6) - (-\frac{1}{3} - 12) = \frac{9}{3} + 18 = 3 + 18 = 21$. 11. $\int_{0}^{2} (2x-1)^{-2} dx$. Первообразная: $\frac{(2x-1)^{-1}}{-1 \cdot 2} = -\frac{1}{2(2x-1)}$. Значение на $[0; 2]$: $-\frac{1}{2(3)} - (- \frac{1}{2(-1)}) = -\frac{1}{6} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. (Примечание: функция имеет разрыв в $x=0.5$, определенный интеграл расходится). 12. $S = \int_{1}^{2} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$. 13. Диагональ $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$. 14. Диагональ квадрата (осевого сечения) $d = 36$. Если сторона квадрата $a$, то $a\sqrt{2} = 36$, $a = \frac{36}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}$. Высота $h=a$, диаметр основания $D=a$. Радиус $r = \frac{D}{2} = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$. 15. Объем параллелепипеда в 3 раза больше объема пирамиды с тем же основанием и высотой. $V_{пар} = 3V$. 16. Число перестановок 8 человек на 8 местах: $P_8 = 8! = 40320$. 17. Всего $5+3+4=12$ шаров. Вероятность белого или черного: $P = \frac{5+3}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.