Вариант 4. Шарик весом P = 10 Н зажат между двумя пружинами, имеющими коэффициенты жесткости c1 =1 Н/см и c2 = 2 Н/см. В начальный момент, когда обе пружины имеют натуральную длину, груз отпускают с начальной скоростью V0 = 4 см/сек, направленную вправо. Определить: 1) уравнение движения груза, 2) максимальную деформацию пружин.

Для решения задачи переведем все данные в систему СИ: - Вес груза $P = 10$ Н. Масса $m = \frac{P}{g} = \frac{10}{9.81} \approx 1.02$ кг. Для простоты расчетов часто принимают $g \approx 10$ м/с², тогда $m = 1$ кг. - Жесткости пружин: $c_1 = 1$ Н/см = $100$ Н/м, $c_2 = 2$ Н/см = $200$ Н/м. - Начальная скорость $v_0 = 4$ см/с = $0.04$ м/с. Система состоит из груза массой $m$ и двух параллельно соединенных пружин. При движении груза в любую сторону одна пружина сжимается, а другая растягивается (или наоборот). Так как обе пружины действуют на груз, общая жесткость системы $k = c_1 + c_2 = 100 + 200 = 300$ Н/м. ### 1) Уравнение движения Уравнение свободных колебаний: $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, где циклическая частота $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{300}{1}} = 10\sqrt{3} \approx 17.32$ рад/с. Общее решение: $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$. В начальный момент ($t=0$): $x(0) = 0$ (так как пружины имеют натуральную длину), значит $\sin(\phi) = 0 \Rightarrow \phi = 0$. Скорость $\dot{x}(t) = A\omega \cos(\omega t)$. При $t=0$: $v_0 = A\omega$. Отсюда амплитуда $A = \frac{v_0}{\omega} = \frac{0.04}{10\sqrt{3}} = \frac{0.004}{\sqrt{3}} \approx 0.0023$ м (или $0.23$ см). Уравнение движения: $x(t) = \frac{0.004}{\sqrt{3}} \sin(10\sqrt{3} t)$ (в метрах). ### 2) Максимальная деформация Максимальная деформация пружин соответствует амплитуде колебаний $A$. $A \approx 0.0023$ м = $0.23$ см. **Ответ:** 1) $x(t) = \frac{0.004}{\sqrt{3}} \sin(10\sqrt{3} t)$; 2) $0.23$ см.