1. Для функции f(x) = 8x^3 - 9x^2 + x - 9 первообразную, которая проходит через точку M (-2; 12).

### Решение контрольной работы **1. Нахождение первообразной** Общий вид первообразной для функции $f(x) = 8x^3 - 9x^2 + x - 9$: $F(x) = \int (8x^3 - 9x^2 + x - 9) dx = 8 \cdot \frac{x^4}{4} - 9 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 9x + C = 2x^4 - 3x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 9x + C$ Так как график проходит через $M(-2; 12)$, подставим $x = -2$ и $F(x) = 12$: $12 = 2(-2)^4 - 3(-2)^3 + 0.5(-2)^2 - 9(-2) + C$ $12 = 2(16) - 3(-8) + 0.5(4) + 18 + C$ $12 = 32 + 24 + 2 + 18 + C$ $12 = 76 + C \Rightarrow C = -64$ **Ответ:** $F(x) = 2x^4 - 3x^3 + 0.5x^2 - 9x - 64$ **2. Нахождение интеграла** $\int (5x^3 - 2x^2 + 3x - 12) dx = 5 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} - 12x + C = 1.25x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 1.5x^2 - 12x + C$ **3. Вычисление определённых интегралов** а) $\int_{-2}^{2} 6x^3 dx = [6 \cdot \frac{x^4}{4}]_{-2}^{2} = [1.5x^4]_{-2}^{2} = 1.5(16) - 1.5(16) = 0$ б) $\int_{-1}^{0} (e^{-7x} + 5) dx = [-\frac{1}{7}e^{-7x} + 5x]_{-1}^{0} = (-\frac{1}{7}e^0 + 0) - (-\frac{1}{7}e^7 - 5) = -\frac{1}{7} + \frac{1}{7}e^7 + 5 = \frac{e^7 - 1}{7} + 5$ в) $\int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) dx = [-\frac{1}{2} \cos(2x - \frac{\pi}{4})]_{\pi/4}^{\pi/2} = -\frac{1}{2} (\cos(\pi - \frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})) = -\frac{1}{2} (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4})) = -\frac{1}{2} (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{1}{2} (-\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ г) $\int_{0}^{3} 5(2x - 3)^4 dx = [5 \cdot \frac{(2x-3)^5}{5 \cdot 2}]_{0}^{3} = [\frac{(2x-3)^5}{2}]_{0}^{3} = \frac{(6-3)^5}{2} - \frac{(0-3)^5}{2} = \frac{3^5}{2} - \frac{(-3)^5}{2} = \frac{243}{2} - (-\frac{243}{2}) = 243$ **4. Площади фигур** а) $y = -x^2 + 9$ и $y = 0$. Точки пересечения: $-x^2 + 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. $S = \int_{-3}^{3} (-x^2 + 9) dx = [-\frac{x^3}{3} + 9x]_{-3}^{3} = (-9 + 27) - (9 - 27) = 18 - (-18) = 36$ б) $y = x^2 + 2$ и $y = 2x + 5$. Точки пересечения: $x^2 + 2 = 2x + 5 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = -1, x_2 = 3$. $S = \int_{-1}^{3} ((2x + 5) - (x^2 + 2)) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx = [-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x]_{-1}^{3} = (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = 9 - (-1 \frac{2}{3}) = 10 \frac{2}{3} \approx 10.67$