Задание 1. Определение производной. Правила дифференцирования, приведите примеры.

### Задание 1. Определение производной и правила дифференцирования **Определение:** Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ — это предел отношения приращения функции $\Delta y$ к приращению аргумента $\Delta x$ при $\Delta x \to 0$: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ **Основные правила:** 1. $(C)' = 0$ (где $C$ — константа). 2. $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. 3. $(f \pm g)' = f' \pm g'$. 4. $(f \cdot g)' = f'g + fg'$. 5. $(f / g)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. **Примеры:** - $(5)' = 0$ - $(x^4)' = 4x^3$ - $(x^2 + 5x)' = 2x + 5$ ### Задание 2. Вычисление Дано выражение: $\frac{58 \cdot 20! - 37 \cdot 20 \cdot 19!}{21!}$ 1. Заметим, что $20 \cdot 19! = 20!$. 2. Упростим числитель: $58 \cdot 20! - 37 \cdot 20! = (58 - 37) \cdot 20! = 21 \cdot 20!$. 3. Вспомним, что $21 \cdot 20! = 21!$. 4. Тогда выражение принимает вид: $\frac{21!}{21!} = 1$. **Ответ: 1** ### Задание 3. Интервалы возрастания и убывания функции $y = 3x - x^3$ 1. Найдем производную функции: $y' = (3x)' - (x^3)' = 3 - 3x^2$. 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3 - 3x^2 = 0$ $3(1 - x^2) = 0$ $x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$. 3. Определим знаки производной на интервалах: - При $x < -1$ (например, $x = -2$): $y' = 3 - 3(-2)^2 = 3 - 12 = -9 < 0$ (функция убывает). - При $-1 < x < 1$ (например, $x = 0$): $y' = 3 - 3(0)^2 = 3 > 0$ (функция возрастает). - При $x > 1$ (например, $x = 2$): $y' = 3 - 3(2)^2 = 3 - 12 = -9 < 0$ (функция убывает). **Ответ:** Функция возрастает на интервале $(-1; 1)$, убывает на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.