15 Решите неравенство 4/log2 x - log2(4/x) <= 38/log2 x^2.

Для решения неравенства $\frac{4}{\log_2 x} - \log_2\left(\frac{4}{x}\right) \le \frac{38}{\log_2 x^2}$, выполним следующие шаги: 1. **ОДЗ:** - $\log_2 x$ в знаменателе, значит $\log_2 x \neq 0 \implies x \neq 1$. - Аргумент логарифма: $x > 0$. - Также знаменатель $\log_2 x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$. Итого ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$. 2. **Упрощение:** Пусть $t = \log_2 x$. - $\log_2\left(\frac{4}{x}\right) = \log_2 4 - \log_2 x = 2 - t$. - $\log_2 x^2 = 2 \log_2 x = 2t$. Подставим в неравенство: $\frac{4}{t} - (2 - t) \le \frac{38}{2t}$ $\frac{4}{t} - 2 + t \le \frac{19}{t}$ 3. **Решение относительно $t$:** Перенесем все влево: $t - 2 + \frac{4}{t} - \frac{19}{t} \le 0$ $t - 2 - \frac{15}{t} \le 0$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{t^2 - 2t - 15}{t} \le 0$ 4. **Метод интервалов:** Корни числителя ($t^2 - 2t - 15 = 0$): $D = 4 - 4(-15) = 64$. $t_{1,2} = \frac{2 \pm 8}{2}$, т.е. $t_1 = 5, t_2 = -3$. Неравенство: $\frac{(t - 5)(t + 3)}{t} \le 0$. Метод интервалов для $t$: - $(-\infty, -3] \cup (0, 5]$. 5. **Обратная замена:** - $t \le -3 \implies \log_2 x \le -3 \implies x \le 2^{-3} \implies x \le \frac{1}{8}$. С учетом $x>0$: $x \in (0, \frac{1}{8}]$. - $0 < t \le 5 \implies 0 < \log_2 x \le 5 \implies 2^0 < x \le 2^5 \implies 1 < x \le 32$. **Ответ:** $x \in (0, 1/8] \cup (1, 32]$.