Вычислить интеграл $\int_1^9 \frac{dx}{5+2\sqrt{x}}$ с помощью замены переменных.

Question

Вопрос:

Вычислить интеграл $\int_1^9 \frac{dx}{5+2\sqrt{x}}$ с помощью замены переменных.

$Вычислить интеграл $\int_1^9 \frac{dx}{5+2\sqrt{x}}$ с помощью замены переменных.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения интеграла $\int_1^9 \frac{dx}{5+2\sqrt{x}}$ воспользуемся предложенной заменой: 1. Пусть $\sqrt{x} = t$, тогда $x = t^2$ и $dx = 2t \, dt$. 2. Определим новые пределы интегрирования: - При $x = 1$, $t = \sqrt{1} = 1$. - При $x = 9$, $t = \sqrt{9} = 3$. 3. Подставим всё в интеграл: $$\int_1^3 \frac{2t \, dt}{5+2t} = \int_1^3 \frac{2t+5-5}{2t+5} \, dt = \int_1^3 \left( 1 - \frac{5}{2t+5} \right) dt$$ 4. Вычислим первообразную и подставим пределы: $$\int_1^3 \left( 1 - \frac{5}{2t+5} \right) dt = \left[ t - \frac{5}{2} \ln|2t+5| \right]_1^3$$ 5. Вычислим значение: $$\left(3 - \frac{5}{2} \ln|6+5|\right) - \left(1 - \frac{5}{2} \ln|2+5|\right) = 2 - \frac{5}{2} (\ln 11 - \ln 7) = 2 - \frac{5}{2} \ln \frac{11}{7}$$ **Ответ:** $2 - \frac{5}{2} \ln \frac{11}{7}$.

Вычислить интеграл $\int_1^9 \frac{dx}{5+2\sqrt{x}}$ с помощью замены переменных.

Ответ ассистента

Другие решения