2 sin^2(7pi/2 + x) = 1 + cos(x - pi)

Давай разберем это тригонометрическое уравнение по шагам. **Исходное уравнение:** $2 \sin^2(\frac{7\pi}{2} + x) = 1 + \cos(x - \pi)$ **Шаг 1: Применим формулы приведения.** 1. Рассмотрим левую часть: $\frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2}$. Это соответствует повороту на $3\pi$ (полтора полных круга) плюс $\frac{\pi}{2}$. По формулам приведения, $\sin(\frac{7\pi}{2} + x) = \cos x$ (так как $\frac{7\pi}{2}$ — это $270^\circ$ или $3\pi + \frac{\pi}{2}$, синус переходит в косинус в 4-й четверти, где синус отрицателен, но при возведении в квадрат знак не важен). 2. Рассмотрим правую часть: $\cos(x - \pi) = \cos(\pi - x)$. Так как косинус — четная функция, $\cos(x - \pi) = \cos(\pi - x) = -\cos x$. **Шаг 2: Подставим упрощенные выражения в уравнение.** Получаем: $2 \cos^2 x = 1 - \cos x$ **Шаг 3: Решим как квадратное уравнение относительно $\cos x$.** Перенесем все в одну сторону: $2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $2t^2 + t - 1 = 0$ Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$ $t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$ $t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$ **Шаг 4: Вернемся к переменной $x$.** 1. $\cos x = 0,5$ $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2. $\cos x = -1$ $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, x = \pi + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.