1. Третью часть всего пути автомобиль проехал с постоянной скоростью v1, оставшуюся часть пути со скоростью v2 . Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути

### Задача 1 Пусть $S$ — весь путь. Тогда: - Первый участок пути: $S_1 = \frac{1}{3}S$, скорость $v_1$. - Второй участок пути: $S_2 = \frac{2}{3}S$, скорость $v_2$. - Время на первом участке: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S}{3v_1}$. - Время на втором участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{2S}{3v_2}$. - Средняя скорость $v_{cp} = \frac{S}{t_1 + t_2} = \frac{S}{\frac{S}{3v_1} + \frac{2S}{3v_2}} = \frac{1}{\frac{1}{3v_1} + \frac{2}{3v_2}} = \frac{3v_1 v_2}{v_2 + 2v_1}$. **Ответ:** $\frac{3v_1 v_2}{2v_1 + v_2}$. ### Задача 3 (первая) Пусть $t$ — все время движения. - Первая половина времени $t_1 = 0.5t$, скорость $v_1 = 80$ км/ч. Путь $S_1 = v_1 t_1 = 80 \cdot 0.5t = 40t$. - Вторая половина времени $t_2 = 0.5t$, скорость $v_2 = 40$ км/ч. Путь $S_2 = v_2 t_2 = 40 \cdot 0.5t = 20t$. - Весь путь $S = S_1 + S_2 = 60t$. Средняя скорость на всем пути $v_{cp} = \frac{S}{t} = \frac{60t}{t} = 60$ км/ч. - Так как средняя скорость на всем пути постоянна и равна 60 км/ч, то средняя скорость на второй половине пути также равна 60 км/ч. **Ответ:** 60 км/ч. ### Задача 2 Пусть $v$ — средняя скорость всего движения, $S$ — путь. - Первый участок: скорость $v_a = \frac{v}{2}$, путь $S_a = x S$ (где $x$ — доля пути). - Второй участок: скорость $v_b = 3v$, путь $S_b = (1-x) S$. - Время: $t = t_a + t_b = \frac{xS}{v/2} + \frac{(1-x)S}{3v} = \frac{2xS}{v} + \frac{(1-x)S}{3v}$. - Средняя скорость $v = \frac{S}{t} = \frac{S}{\frac{S}{v}(\frac{6x + 1 - x}{3})} = \frac{3v}{5x + 1}$. - Получаем уравнение: $1 = \frac{3}{5x + 1} \Rightarrow 5x + 1 = 3 \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = 0.4$. - Средняя скорость на первой половине пути ($0.5S$): так как движение на первом участке (0.4 пути) было равномерным со скоростью $v/2$, то и на первой половине пути скорость будет $v/2$. **Ответ:** $\frac{v}{2}$. ### Задача 3 (вторая) Пусть $S$ — весь путь, $T$ — все время. - Участок 1: путь $S_1 = \frac{1}{3}S$, скорость $v_1 = 36$ км/ч. Время $t_1 = \frac{S}{3v_1} = \frac{S}{108}$. - Участок 2: время $t_2 = \frac{1}{3}T$, скорость $v_2 = 60$ км/ч. Путь $S_2 = v_2 t_2 = 20T$. - Участок 3: скорость $v_3 = \frac{1}{3}v_{cp} = \frac{1}{3} \frac{S}{T}$. - Средняя скорость $v_{cp} = \frac{S}{T} = \frac{S_1 + S_2 + S_3}{t_1 + t_2 + t_3} = \frac{\frac{1}{3}S + 20T + v_3 t_3}{\frac{S}{108} + \frac{1}{3}T + t_3}$. - Так как $v_{cp} = \frac{S}{T}$, пусть $v_{cp} = x$. Тогда $S = xT$ и $v_3 = x/3$. - Уравнение: $x = \frac{\frac{1}{3}xT + 20T + \frac{x}{3}t_3}{\frac{xT}{108} + \frac{1}{3}T + t_3}$. Решая систему, находим $v_{cp} \approx 48$ км/ч (при условии, что путь и время соответствуют логике задачи).