3. Автобус проехал треть пути со скоростью v1 = 36 км/час, затем треть всего времени движения со скоростью v2 = 60 км/час , и на последнем участке он ехал со скоростью, равной трети средней скорости всего движения. Определите среднюю скорость автобуса.

Пусть $S$ — весь путь, $t$ — всё время движения. Средняя скорость равна $v_{ср} = \frac{S}{t}$. Разделим движение на три участка: 1. Первый участок: $S_1 = \frac{1}{3}S$, скорость $v_1 = 36$ км/ч. Время $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/3}{36} = \frac{S}{108}$. 2. Второй участок: время $t_2 = \frac{1}{3}t$, скорость $v_2 = 60$ км/ч. Расстояние $S_2 = v_2 t_2 = 60 \cdot \frac{t}{3} = 20t$. 3. Третий участок: оставшееся время $t_3 = t - t_1 - t_2 = t - \frac{S}{108} - \frac{1}{3}t = \frac{2}{3}t - \frac{S}{108}$. Скорость $v_3 = \frac{1}{3}v_{ср} = \frac{1}{3} \cdot \frac{S}{t}$. Расстояние $S_3 = v_3 t_3 = \frac{S}{3t} \cdot (\frac{2}{3}t - \frac{S}{108}) = \frac{2S}{9} - \frac{S^2}{324t}$. Так как $S = S_1 + S_2 + S_3$, подставим значения: $S = \frac{S}{3} + 20t + \frac{2S}{9} - \frac{S^2}{324t}$ $S = \frac{5S}{9} + 20t - \frac{S^2}{324t}$ $\frac{4S}{9} = 20t - \frac{S^2}{324t}$ Разделим всё уравнение на $t$ (учитывая $v_{ср} = \frac{S}{t}$): $\frac{4}{9} \cdot \frac{S}{t} = 20 - \frac{1}{324} \cdot (\frac{S}{t})^2$ Пусть $v_{ср} = x$. Тогда $\frac{4}{9}x = 20 - \frac{x^2}{324}$. $144x = 6480 - x^2$ $x^2 + 144x - 6480 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = 144^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6480) = 20736 + 25920 = 46656$ $\sqrt{D} = 216$ $x_1 = \frac{-144 + 216}{2} = 36$ (км/ч) $x_2 = \frac{-144 - 216}{2} < 0$ (не подходит по смыслу) **Ответ: 36 км/ч.**