Решите уравнение sin^2 x - 4sinxcosx + 3cos^2 x=0.

Привет! Давай разберем это тригонометрическое уравнение. Это однородное уравнение второй степени. Уравнение: $\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0$ 1. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$. Заметим, что $\cos x = 0$ не является корнем уравнения (если подставить, получим $\sin^2 x = 0$, то есть $\sin x = 0$, но $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно из основного тригонометрического тождества). 2. Получаем: $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$ 3. Используя определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, упрощаем: $\operatorname{tg}^2 x - 4\operatorname{tg} x + 3 = 0$ 4. Сделаем замену переменной: пусть $t = \operatorname{tg} x$. Тогда уравнение принимает вид: $t^2 - 4t + 3 = 0$ 5. Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: Корни уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = 1$. 6. Вернемся к замене: а) $\operatorname{tg} x = 3 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $\operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k, x = \frac{\pi}{4} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$