log_{0.3} 8 / log_{0.3} 10 + 5 / log_{0.5} 10 + log_{sqrt{10}} 200

Давай разберем это выражение. Воспользуемся свойством логарифмов $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$ и тем, что $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$. Выражение: $\frac{\log_{0.3} 8}{\log_{0.3} 10} + \frac{5}{\log_{0.5} 10} + \log_{\sqrt{10}} 200$ 1. Первый член преобразуем по формуле перехода к новому основанию: $\frac{\log_{0.3} 8}{\log_{0.3} 10} = \log_{10} 8$ 2. Второй член: $\frac{5}{\log_{0.5} 10} = 5 \cdot \log_{10} 0.5 = 5 \cdot \log_{10} \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot (\log_{10} 1 - \log_{10} 2) = 5 \cdot (0 - \log_{10} 2) = -5 \log_{10} 2$ 3. Третий член: $\log_{\sqrt{10}} 200 = \log_{10^{0.5}} 200 = \frac{1}{0.5} \log_{10} 200 = 2 \cdot \log_{10} (2 \cdot 100) = 2 \cdot (\log_{10} 2 + \log_{10} 10^2) = 2 \cdot (\log_{10} 2 + 2) = 2 \log_{10} 2 + 4$ Теперь сложим всё вместе: $\log_{10} 8 - 5 \log_{10} 2 + 2 \log_{10} 2 + 4$ $= \log_{10} 2^3 - 3 \log_{10} 2 + 4$ $= 3 \log_{10} 2 - 3 \log_{10} 2 + 4$ $= 4$ **Ответ: 4**