4. Теплоход обгонял баржу 2 минуты, а катер обгонял теплоход 1 минуту. Какое время потребуется катеру на обгон баржи? Известно, что катер совсем маленький, а баржа в 3 раза длиннее теплохода.

### Решение задачи 4 Пусть $L_т$ — длина теплохода, тогда длина баржи $L_б = 3L_т$. Длина катера пренебрежимо мала ($L_к \approx 0$). Пусть $v_т, v_б, v_к$ — скорости теплохода, баржи и катера соответственно. 1. При обгоне теплоход обгоняет баржу за $t_1 = 2$ мин. Относительная скорость $v_т - v_б = \frac{L_т + L_б}{t_1} = \frac{L_т + 3L_т}{2} = 2L_т$. 2. Катер обгоняет теплоход за $t_2 = 1$ мин. Относительная скорость $v_к - v_т = \frac{L_к + L_т}{t_2} = \frac{0 + L_т}{1} = L_т$. 3. Нам нужно найти время $t_3$ обгона катером баржи. Относительная скорость $v_к - v_б = (v_к - v_т) + (v_т - v_б) = L_т + 2L_т = 3L_т$. 4. Время обгона $t_3 = \frac{L_к + L_б}{v_к - v_б} = \frac{0 + 3L_т}{3L_т} = 1$ минута. **Ответ: 1 минута.** ### Решение задачи 1 Пусть $s_1$ и $s_2$ — длины первой и второй частей пути, $v_1 = v$, $v_2 = v/3$. Средняя скорость $v_{ср} = v/2$. 1. Время на участках: $t_1 = \frac{s_1}{v}$, $t_2 = \frac{s_2}{v/3} = \frac{3s_2}{v}$. 2. Формула средней скорости: $v_{ср} = \frac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2}$. 3. Подставим значения: $\frac{v}{2} = \frac{s_1 + s_2}{\frac{s_1}{v} + \frac{3s_2}{v}} = \frac{v(s_1 + s_2)}{s_1 + 3s_2}$. 4. Сократим на $v$: $\frac{1}{2} = \frac{s_1 + s_2}{s_1 + 3s_2}$. 5. $s_1 + 3s_2 = 2(s_1 + s_2) \Rightarrow s_1 + 3s_2 = 2s_1 + 2s_2$. 6. Перенесем слагаемые: $s_2 = s_1$. Вторая часть пути равна первой (во 1 раз длиннее). **Ответ: во 1 раз.**