Задание 1. Найдите производную функции:

### Решение заданий экзаменационного билета №1 **Задание 1. Найдите производную функции:** a) $f(x) = 3x^4 + x^2 - 5$ $f'(x) = (3x^4)' + (x^2)' - (5)' = 12x^3 + 2x$ б) $f(x) = 6 \sin x + 4$ $f'(x) = (6 \sin x)' + (4)' = 6 \cos x$ в) $f(x) = (2x+5)(x-4)$ Раскроем скобки: $f(x) = 2x^2 - 8x + 5x - 20 = 2x^2 - 3x - 20$ $f'(x) = 4x - 3$ **Задание 2. Составить уравнение касательной к графику функции $f(x) = 2x^2 - x + 3$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$:** Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ 1) $f(1) = 2(1)^2 - 1 + 3 = 4$ 2) $f'(x) = 4x - 1$ 3) $f'(1) = 4(1) - 1 = 3$ 4) $y = 4 + 3(x - 1) = 4 + 3x - 3 = 3x + 1$ **Ответ: $y = 3x + 1$** **Задание 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 + 2, y = 0, x = 1, x = 2$:** $S = \int_{1}^{2} (x^2 + 2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} + 4) - (\frac{1}{3} + 2) = (\frac{8}{3} + \frac{12}{3}) - (\frac{1}{3} + \frac{6}{3}) = \frac{20}{3} - \frac{7}{3} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$ **Ответ: $4\frac{1}{3}$** **Задание 4. Решите уравнения:** а) $\text{ctg } x - \frac{1}{\sqrt{3}} = 0$ $\text{ctg } x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $x = \text{arcctg } (\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$ б) $\log_4 \frac{x+1}{3} = \log_4 \frac{-3x+5}{2}$ ОДЗ: $\frac{x+1}{3} > 0 \Rightarrow x > -1$; $\frac{-3x+5}{2} > 0 \Rightarrow x < \frac{5}{3}$ $\frac{x+1}{3} = \frac{-3x+5}{2}$ $2(x+1) = 3(-3x+5)$ $2x + 2 = -9x + 15$ $11x = 13$ $x = \frac{13}{11} \approx 1.18$ (входит в ОДЗ) в) $4^{x^2-4x-2} = 64$ $4^{x^2-4x-2} = 4^3$ $x^2 - 4x - 2 = 3$ $x^2 - 4x - 5 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 5, x_2 = -1$ **Задание 5. Решите неравенство $\frac{x^2 - 4}{2x + 1} < 0$:** $\frac{(x-2)(x+2)}{2(x+0.5)} < 0$ Метод интервалов: Корни числителя: $-2, 2$. Корень знаменателя: $-0.5$ (выколотая точка). Интервалы: $(-\infty; -2) \cup (-0.5; 2)$ **Задание 6. Исследование функции по графику:** 1) Область определения $D(f): [-3; 6]$ 2) Множество значений $E(f): [-2; 2]$ 3) Нули функции: $x = -2, x = 3, x = 5$ 4) Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ на $(-2; 3) \cup (5; 6]$ $f(x) < 0$ на $[-3; -2) \cup (3; 5)$ 5) Промежутки возрастания/убывания: Возрастает: $[-1; 1.5] \cup [4; 6]$ Убывает: $[-3; -1] \cup [1.5; 4]$ 6) Точки экстремума: $x = -1$ (минимум, $y = -1$) $x = 1.5$ (максимум, $y = 2$) $x = 4$ (минимум, $y = -2$) **Задание 7. У параллелепипеда три грани имеют площади 4, 2, 3. Чему равна полная поверхность?** $S_{полн} = 2(S_1 + S_2 + S_3) = 2(4 + 2 + 3) = 2 \cdot 9 = 18$ **Ответ: 18** **Задание 8. Радиус основания конуса 3 м, образующая 5 м. Найти высоту:** $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ **Ответ: 4 м**