1.5. Известно, что в четырехугольник ABCD вписана окружность. Найдите сторону DC, если AB = 16, AD = 15, BC = 17.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. ### 1.5 Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Подставим известные значения: $16 + CD = 17 + 15$ $16 + CD = 32$ $CD = 32 - 16 = 16$ **Ответ: 16** ### 1.6 Периметр четырехугольника равен сумме всех его сторон: $P = AB + BC + CD + DA$. Так как в него вписана окружность, суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Тогда $P = (AB + CD) + (BC + AD) = (BC + AD) + (BC + AD) = 2(BC + AD)$. Подставим значения: $P = 2(17 + 15) = 2 \cdot 32 = 64$ **Ответ: 64** ### 1.7 Пусть вписанный угол равен $\alpha$. Тогда центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $2\alpha$. По условию центральный угол больше вписанного на $22^\circ$: $2\alpha - \alpha = 22^\circ$ $\alpha = 22^\circ$ **Ответ: 22** ### 1.8 $\angle AOB = 65^\circ$. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ — вертикальные, значит $\angle COD = 65^\circ$. Углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ смежные, поэтому $\angle BOC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$. Угол $\angle DBC$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $CD$. Однако, проще заметить, что треугольник $OBC$ равнобедренный ($OB = OC = R$). Угол при вершине $\angle BOC = 115^\circ$. Тогда углы при основании $\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 115^\circ) / 2 = 65^\circ / 2 = 32{,}5^\circ$. Угол $DBC$ — это то же самое, что угол $OBC$, так как точки $B, O, D$ лежат на одной прямой (диаметр $BD$). **Ответ: 32,5**