1) Определение биссектрисы в треугольнике. Построение их в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках.

1) Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину угла с точкой на противолежащей стороне. Во всех видах треугольников (остроугольном, прямоугольном, тупоугольном) биссектрисы пересекаются в одной точке, называемой инцентром (центром вписанной окружности). 2) Теорема: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Доказательство: Пусть $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=BC$). Пусть $BH$ — высота к основанию $AC$. В прямоугольных треугольниках $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$: $BH$ — общая сторона, гипотенузы $AB=BC$ по условию. Значит, $\triangle ABH = \triangle CBH$ (по катету и гипотенузе). Из равенства треугольников следует, что $AH=HC$ (значит, $BH$ — медиана) и $\angle ABH = \angle CBH$ (значит, $BH$ — биссектриса). 3) Вертикальные углы равны. Пусть величина каждого из них равна $x$. По условию их сумма $2x = 202^\circ$. Следовательно, $x = 202^\circ / 2 = 101^\circ$. Ответ: $101^\circ$. 4) На чертеже изображены две прямые, пересеченные секущей. Углы $105^\circ$ и $75^\circ$ являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых (так как $105^\circ + 75^\circ = 180^\circ$). Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Однако, если предположить, что прямые параллельны, то углы при основании $D$ и $O$ (внешние по отношению к параллельным) должны быть равны соответствующим углам сверху. Исходя из суммы углов четырехугольника или параллельности прямых: $\angle DOB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Ответ: $100^\circ$.