14. Исследовать функцию $y = \frac{2x^3}{x^2-3}$ и построить ее график.

Для исследования функции $f(x) = \frac{2x^3}{x^2-3}$ пройдем по шагам: 1. **Область определения**: Знаменатель не должен быть равен нулю. $x^2 - 3 \neq 0 \implies x \neq \pm\sqrt{3}$. Область определения: $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$. 2. **Четность**: $f(-x) = \frac{2(-x)^3}{(-x)^2-3} = -\frac{2x^3}{x^2-3} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. 3. **Пересечение с осями**: - С осью $OY$ ($x=0$): $f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$. - С осью $OX$ ($y=0$): $2x^3 = 0 \implies x=0$. Точка $(0, 0)$. 4. **Асимптоты**: - Вертикальные: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. - Наклонная ($y = kx + b$): $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2-3} = 2$. $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - 2x) = \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^3 - 2x(x^2-3)}{x^2-3}) = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{x^2-3} = 0$. Наклонная асимптота: $y = 2x$. 5. **Производная**: $f'(x) = \frac{6x^2(x^2-3) - 2x^3(2x)}{(x^2-3)^2} = \frac{6x^4 - 18x^2 - 4x^4}{(x^2-3)^2} = \frac{2x^4 - 18x^2}{(x^2-3)^2} = \frac{2x^2(x^2-9)}{(x^2-3)^2}$. Критические точки: $x=0$, $x=3$, $x=-3$. - На интервалах $(-\infty, -3)$ и $(3, +\infty)$ функция возрастает. - На интервалах $(-3, -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}, 3)$ функция убывает. - $f(-3) = -9$ (максимум), $f(3) = 9$ (минимум). :::div .chart-container @chart-1:::