1) f(x) = 2/x^4; M(2; -1)

Привет! Давай разберем твое домашнее задание. ### Задание 1 Найти первообразную функции $f(x) = \frac{2}{x^4} = 2x^{-4}$, график которой проходит через точку $M(2; -1)$. 1. Общий вид первообразных: $F(x) = \int 2x^{-4} dx = 2 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{2}{3x^3} + C$ 2. Подставим координаты точки $M(2; -1)$ ($x=2, F(x)=-1$): $-1 = -\frac{2}{3 \cdot 2^3} + C$ $-1 = -\frac{2}{3 \cdot 8} + C$ $-1 = -\frac{2}{24} + C$ $-1 = -\frac{1}{12} + C$ $C = -1 + \frac{1}{12} = -\frac{11}{12}$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{2}{3x^3} - \frac{11}{12}$ ### Задание 2 Найти первообразную функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{x} = x^{-1/2} - 2x^{-1}$, график которой проходит через точку $M(1; -3)$. 1. Общий вид первообразных: $F(x) = \int (x^{-1/2} - 2x^{-1}) dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} - 2\ln|x| + C = 2\sqrt{x} - 2\ln|x| + C$ 2. Подставим координаты точки $M(1; -3)$ ($x=1, F(x)=-3$): $-3 = 2\sqrt{1} - 2\ln(1) + C$ $-3 = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + C$ $-3 = 2 + C$ $C = -5$ **Ответ:** $F(x) = 2\sqrt{x} - 2\ln|x| - 5$ ### Задание 3 Вычислить определенный интеграл: $\int_{0}^{3} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_0^3 = \frac{3^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{81}{4} = 20,25$ **Ответ:** 20,25 ### Задание 4 Вычислить определенный интеграл: $\int_{-2}^{3} (2x - 3) dx = \left. (x^2 - 3x) \right|_{-2}^{3}$ $= (3^2 - 3 \cdot 3) - ((-2)^2 - 3 \cdot (-2))$ $= (9 - 9) - (4 + 6)$ $= 0 - 10 = -10$ **Ответ:** -10