«Вписанная и описанная окружность треугольника». В-1. № 1. Можно ли вписать окружность в прямоугольный треугольник?

Question

Вопрос:

«Вписанная и описанная окружность треугольника». В-1. № 1. Можно ли вписать окружность в прямоугольный треугольник?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

### Решения задач: **№ 1. Можно ли вписать окружность в прямоугольный треугольник?** Да, можно. В любой треугольник (включая прямоугольный) можно вписать окружность, и притом только одну. **№ 2. Выпиши какие из треугольников описаны вокруг окружности (рис. 2)?** Описанным вокруг окружности является треугольник, все стороны которого касаются окружности. На рисунке 2 изображена сложная фигура, но по точкам касания видно, что окружность вписана в треугольник $\triangle ABC$. **№ 3. Где расположен центр вписанной в треугольник окружности?** Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов. **№ 4. Найди периметр треугольника ABC (рис. 4)** Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Пусть точки касания на сторонах $AB, BC, AC$ — это $F, E, K$ соответственно. Тогда: - $AF = AK = 6$ - $BF = BE = 4$ - $CE = CK = 5$ Стороны треугольника: - $AB = AF + FB = 6 + 4 = 10$ - $BC = BE + EC = 4 + 5 = 9$ - $AC = AK + KC = 6 + 5 = 11$ Периметр $P = AB + BC + AC = 10 + 9 + 11 = 30$. **Ответ: 30.** **№ 5. AB и AC – касательные, $\angle AOB = 65^\circ$. Найди $\angle CAO$ (рис. 5)** Центр окружности $O$ лежит на биссектрисе угла $A$. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. Также треугольник $\triangle ABO$ — прямоугольный (так как радиус $OB \perp AB$). В $\triangle ABO$: $\angle ABO = 90^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Тогда $\angle BAO = 180^\circ - 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$. Так как $AO$ — биссектриса, то $\angle CAO = \angle BAO = 25^\circ$. **Ответ: 25^\circ.**

«Вписанная и описанная окружность треугольника». В-1. № 1. Можно ли вписать окружность в прямоугольный треугольник?

Ответ ассистента

Другие решения