В трапеции ABCD с основаниями AD = 10 см и BC = 6 см проведены диагонали. На диагонали AC отмечена точка K так, что CK : KA = 1 : 3. Через точку K проведена прямая, параллельная основаниям, которая пересекает сторону CD в точке M, а диагональ BD — в точке N. Найдите длину отрезка NK.

Давай разберем эту геометрическую задачу по шагам. 1. Определим отношение отрезков на диагонали $AC$. По условию $CK : KA = 1 : 3$. Это значит, что весь отрезок $CA$ состоит из $1 + 3 = 4$ частей. Следовательно, отношение $\frac{CK}{CA} = \frac{1}{4}$. 2. Используем свойство подобия треугольников. Прямая $NK$ проходит через точку $K$ и параллельна основаниям трапеции, значит $NK \parallel AD$. Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. В нем сторона $NK$ параллельна стороне $AD$. Так как прямые параллельны, то $\triangle CKN \sim \triangle CAD$ по двум углам (угол $C$ — общий, углы при параллельных прямых и секущей равны). 3. Найдем длину отрезка $NK$. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон: $\frac{NK}{AD} = \frac{CK}{CA}$ Подставим известные значения ($AD = 10$ см, $\frac{CK}{CA} = \frac{1}{4}$): $\frac{NK}{10} = \frac{1}{4}$ $NK = \frac{10}{4} = 2.5$ см. **Ответ: 2.5 см.**