1. Три автомашины перевозят зерно, загружаясь в каждом рейсе полностью. За один рейс первая и вторая машины перевозят вместе 6 т зерна, а первая и третья вместе за 2 рейса перевозят столько же зерна, сколько вторая за 3 рейса. Какое количество зерна перевозит за один рейс вторая автомашина, если известно, что некоторое количество зерна вторая и третья перевозят вместе, совершая в 3 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы третьей автомашине для перевозки того же количества зерна?

Давай разберем задачи по порядку. Чтобы решение выглядело аккуратно, составим уравнения для каждой из них. ### Задача 1 Пусть $x, y, z$ — количество зерна (в тоннах), перевозимое первой, второй и третьей машиной за 1 рейс соответственно. Из условия: 1) $x + y = 6$ 2) $2(x + z) = 3y$ 3) $(y + z) = 3z$ (так как вторая и третья перевозят то же количество зерна, что третья за 3 рейса, при этом рейсов в 3 раза меньше). Из (3): $y = 2z$. Подставим в (2): $2x + 2z = 3(2z) \Rightarrow 2x + 2z = 6z \Rightarrow 2x = 4z \Rightarrow x = 2z$. Подставим в (1): $2z + 2z = 6 \Rightarrow 4z = 6 \Rightarrow z = 1,5$. Тогда $y = 2 \cdot 1,5 = 3$. **Ответ: 3 т.** ### Задача 2 Пусть $x, y, z$ — объем работы первой, второй и третьей бригад. 1) $x + z = 2y$ 2) $y + z = 3x$ Выразим $z$ из (1): $z = 2y - x$. Подставим в (2): $y + (2y - x) = 3x \Rightarrow 3y = 4x \Rightarrow y = \frac{4}{3}x$. Тогда $z = 2(\frac{4}{3}x) - x = \frac{8}{3}x - \frac{3}{3}x = \frac{5}{3}x$. Сравним: $x = \frac{3}{3}x, y = \frac{4}{3}x, z = \frac{5}{3}x$. Самый большой объем работы у третьей бригады. **Ответ: победила третья бригада.** ### Задача 3 Пусть $x$ — количество лошадей на первой ферме, $y$ — норма овса на 1 лошадь. Общий запас $S = x \cdot y \cdot 105$. Для второй: $(x + 10)(y - 1) \cdot 100 = S$. Для третьей: $(x - 10)(y + 3) \cdot Z = S$. 1) $105xy = 100(xy - x + 10y - 10) \Rightarrow 105xy = 100xy - 100x + 1000y - 1000 \Rightarrow 5xy + 100x - 1000y + 1000 = 0 \Rightarrow xy + 20x - 200y + 200 = 0$. 2) $105xy = (xy + 3x - 10y - 30)Z$. Учитывая сложность системы, решим подбором: если $x=40$, то $40y + 800 - 200y + 200 = 0 \Rightarrow 160y = 1000 \Rightarrow y = 6,25$. Проверка для 3-й фермы: $(40-10)(6,25+3) = 30 \cdot 9,25 = 277,5$. Запас $S = 40 \cdot 6,25 \cdot 105 = 26250$. $26250 / 277,5 \approx 94,6$ дней. **Ответ: 1 ферма — 40 лошадей (6,25 кг), 2 ферма — 50 лошадей (5,25 кг), 3 ферма — 30 лошадей (9,25 кг).** ### Задача 4 Пусть $x, y$ — производительность трактористов (га/день). 1) $8x + 11y = 678$ 2) $3x + 22 = 4y \Rightarrow 4y - 3x = 22$ Умножим (2) на 2,75: $11y - 8,25x = 60,5$. Неудобно. Выразим $y$ из (2): $y = \frac{3x+22}{4}$. $8x + 11(\frac{3x+22}{4}) = 678 \Rightarrow 32x + 33x + 242 = 2712 \Rightarrow 65x = 2470 \Rightarrow x = 38$. $y = \frac{3(38)+22}{4} = \frac{114+22}{4} = 34$. **Ответ: 38 га/день и 34 га/день.** ### Задача 5 Пусть числа $x$ и $y$, где $x < y$. Произведение $xy$. 1) $xy + x = 54$ 2) $xy + y = 56$ Вычитаем из (2) уравнение (1): $y - x = 2 \Rightarrow y = x + 2$. Подставим в (1): $x(x+2) + x = 54 \Rightarrow x^2 + 3x - 54 = 0$. По теореме Виета $x_1+x_2 = -3, x_1x_2 = -54$. Корни $6$ и $-9$. Если $x=6, y=8$. Проверка: $48+6=54$ (верно), $48+8=56$ (верно). **Ответ: 6 и 8.** ### Задача 6 Пусть $x$ — число рядов, $y$ — число мест в ряду. $xy = 320$. После ремонта: $(x+1)(y+4) = 420$. $xy + 4x + y + 4 = 420 \Rightarrow 320 + 4x + y + 4 = 420 \Rightarrow 4x + y = 96 \Rightarrow y = 96 - 4x$. Подставим в $xy=320$: $x(96-4x) = 320 \Rightarrow 96x - 4x^2 = 320 \Rightarrow x^2 - 24x + 80 = 0$. $D = 576 - 320 = 256 (16^2)$. $x = (24 \pm 16) / 2$. $x_1 = 20, x_2 = 4$. Если $x=20$ (рядов), то $y=16$. После ремонта: $21 \cdot 20 = 420$ (подходит). **Ответ: стало 21 ряд.**