Докажите, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.

Для доказательства того, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре, выполним следующие шаги: 1. Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Проведем в ней несколько параллельных хорд. Пусть это будут хорды $AB$ и $CD$, причем $AB \parallel CD$. 2. Проведем диаметр $MN$, который перпендикулярен этим хордам. Это возможно, так как все параллельные хорды перпендикулярны одной и той же прямой. 3. Вспомним свойство диаметра: диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. 4. Так как диаметр $MN$ перпендикулярен $AB$, он проходит через середину $AB$. Обозначим её $K$. 5. Так как диаметр $MN$ перпендикулярен $CD$, он проходит через середину $CD$. Обозначим её $L$. 6. Поскольку $MN$ — это одна прямая (диаметр), точки $K$ и $L$ лежат на этом диаметре. Таким образом, все середины параллельных хорд будут лежать на диаметре, перпендикулярном этим хордам.