Докажите, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.

Пусть дана окружность с центром $O$. Проведем в ней две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Обозначим их середины как $M$ и $N$ соответственно. 1. Соединим центр окружности $O$ с серединами хорд $M$ и $N$. 2. Согласно свойству хорд, радиус (или прямая, проходящая через центр), проведенный к середине хорды, перпендикулярен этой хорде. Следовательно, $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$. 3. Так как хорды $AB$ и $CD$ параллельны по условию, а прямые $OM$ и $ON$ перпендикулярны этим параллельным хордам, то точки $O, M, N$ лежат на одной прямой (так как из точки к прямой можно провести только один перпендикуляр). 4. Эта прямая, проходящая через центр $O$ и перпендикулярная параллельным хордам, является диаметром. Таким образом, середины всех параллельных хорд лежат на одном диаметре.