Докажите, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и две параллельные хорды $AB$ и $CD$. 1. Проведем радиусы $OA$ и $OB$ к концам хорды $AB$. Так как $OA = OB$ (радиусы одной окружности), треугольник $\triangle OAB$ — равнобедренный. 2. Проведем перпендикуляр $OM$ из центра $O$ к хорде $AB$. В равнобедренном треугольнике $OAB$ отрезок $OM$ является не только высотой, но и медианой. Значит, $M$ — середина $AB$. 3. Аналогично проведем радиусы $OC$ и $OD$ к концам хорды $CD$. Треугольник $\triangle OCD$ — равнобедренный. 4. Проведем перпендикуляр $OK$ из центра $O$ к хорде $CD$. $OK$ также является медианой, значит, $K$ — середина $CD$. 5. Так как хорды $AB$ и $CD$ параллельны, то прямая $OM$, перпендикулярная $AB$, будет перпендикулярна и $CD$ (по свойству параллельных прямых: если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой). 6. Таким образом, точки $M, O, K$ лежат на одной прямой, перпендикулярной обеим хордам. Эта прямая проходит через центр окружности, следовательно, она является частью диаметра. Значит, середины всех параллельных хорд лежат на одном диаметре (перпендикулярном этим хордам).