Докажите, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами окружности и геометрией. ### Доказательство: 1. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Проведем две параллельные хорды $AB$ и $CD$. 2. Пусть $M$ — середина хорды $AB$, а $K$ — середина хорды $CD$. 3. По свойству диаметра (или радиуса), перпендикулярного хорде, отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Значит, $OM \perp AB$ и $OK \perp CD$. 4. Так как хорды $AB$ и $CD$ параллельны по условию ($AB \parallel CD$), то перпендикуляры, опущенные из одной точки ($O$) на параллельные прямые, должны совпадать. Следовательно, точки $O, M$ и $K$ лежат на одной прямой. 5. Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хордам, является частью диаметра. Таким образом, мы доказали, что середины всех параллельных хорд лежат на одном диаметре.