В правильной n-угольной призме сторона основания равна a и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхностей призмы, если: а) n=3, a=10 см, h=15 см; б) n=4, a=12 дм, h=8 дм; в) n=6, a=23 см, h=5 дм; г) n=5, a=0,4 м, h=10 см.

Привет! Давай разберемся с этой задачей. В правильной n-угольной призме основанием является правильный n-угольник со стороной a, а боковые грани — это прямоугольники со сторонами a и h. ### Формулы: 1. Периметр основания: $P = n \cdot a$ 2. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot h = n \cdot a \cdot h$ 3. Площадь основания: $S_{осн} = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan(180^\circ/n)}$ 4. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$ --- ### Решение: **а) n=3 (правильная треугольная призма), a=10 см, h=15 см:** - $P = 3 \cdot 10 = 30$ см. - $S_{бок} = 30 \cdot 15 = 450$ см$^2$. - $S_{осн} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \approx 43,3$ см$^2$. - $S_{полн} = 450 + 2 \cdot 25\sqrt{3} = 450 + 50\sqrt{3} \approx 536,6$ см$^2$. **б) n=4 (правильная четырехугольная призма / параллелепипед), a=12 дм, h=8 дм:** - $P = 4 \cdot 12 = 48$ дм. - $S_{бок} = 48 \cdot 8 = 384$ дм$^2$. - $S_{осн} = 12^2 = 144$ дм$^2$. - $S_{полн} = 384 + 2 \cdot 144 = 384 + 288 = 672$ дм$^2$. **в) n=6 (правильная шестиугольная призма), a=23 см, h=5 дм = 50 см:** - $P = 6 \cdot 23 = 138$ см. - $S_{бок} = 138 \cdot 50 = 6900$ см$^2$. - $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = 1,5 \cdot 1,732 \cdot 23^2 \approx 1374$ см$^2$. - $S_{полн} \approx 6900 + 2 \cdot 1374 = 9648$ см$^2$. **г) n=5 (правильная пятиугольная призма), a=0,4 м = 40 см, h=10 см:** - $P = 5 \cdot 40 = 200$ см. - $S_{бок} = 200 \cdot 10 = 2000$ см$^2$. - $S_{осн} = \frac{5 \cdot 40^2}{4 \cdot \tan(36^\circ)} \approx \frac{8000}{2,906} \approx 2753$ см$^2$. - $S_{полн} \approx 2000 + 2 \cdot 2753 = 7506$ см$^2$. ### Чертеж: Для правильной n-угольной призмы чертеж строится так: рисуешь в основании правильный n-угольник (в перспективе), проводишь параллельные вертикальные ребра одинаковой длины, соединяешь их верхние концы, образуя верхнее основание.