Найдите S, где S — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 1/9, 1/81, ...

1. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$. Здесь $b_1 = \frac{1}{9}$, а знаменатель $q = \frac{1/81}{1/9} = \frac{1}{9}$. Тогда $S = \frac{1/9}{1 - 1/9} = \frac{1/9}{8/9} = \frac{1}{8} = 0,125$. 2. Арифметическая прогрессия: $a_n = 4 + (n-1)3 = 3n + 1$. Геометрическая прогрессия: $b_k = 2 \cdot 2^{k-1} = 2^k$. Приравниваем: $3n+1 = 2^k$. Для $n \le 40$ имеем $3n+1 \le 121$. Возможные степени двойки: $2^2=4$ ($n=1$), $2^3=8$ ($n=7/3$ — не целое), $2^4=16$ ($n=5$), $2^5=32$ ($n=31/3$ — не целое), $2^6=64$ ($n=21$). Итого $n=1, 5, 21$. Всего 3 одинаковых члена. 3. Формула суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. $a_1 = -16 + 5 = -11$. $a_{12} = -16 + 5 \cdot 12 = 44$. $S_{12} = \frac{-11 + 44}{2} \cdot 12 = 33 \cdot 6 = 198$. 4. Числа $81, C, 9$ образуют геометрическую прогрессию. По свойству: $C^2 = 81 \cdot 9 = 729$. $C = \sqrt{729} = 27$ (так как по условию положительное число). 5. Сумма членов с 5-го по 8-й: $a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 48$. Формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Сложим: $4a_1 + (4+5+6+7)d = 48 \Rightarrow 4a_1 + 22 \cdot 2 = 48 \Rightarrow 4a_1 = 48 - 44 \Rightarrow 4a_1 = 4 \Rightarrow a_1 = 1$. 6. Арифметическая: $a_n = 5 + (n-1)3 = 3n + 2$. Геометрическая: $b_k = 4 \cdot 2^{k-1} = 2^{k+1}$. Приравниваем: $3n+2 = 2^{k+1}$. Для $n \le 50$, $3n+2 \le 152$. Степени двойки $2^{k+1}$: $2^3=8$ ($n=2$), $2^4=16$ ($n=14/3$ — нет), $2^5=32$ ($n=10$), $2^6=64$ ($n=62/3$ — нет), $2^7=128$ ($n=42$). Итого $n=2, 10, 42$. Всего 3 одинаковых члена. 7. Формула суммы: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$. $250 = \frac{2a_1 + 24 \cdot 3}{2} \cdot 25 \Rightarrow 10 = \frac{2a_1 + 72}{2} \Rightarrow 20 = 2a_1 + 72 \Rightarrow 2a_1 = -52 \Rightarrow a_1 = -26$. 8. $b_1 = 48$, $q = 24/48 = 0,5$. $S_7 = \frac{b_1(1-q^7)}{1-q} = \frac{48(1-(1/2)^7)}{1-0,5} = \frac{48(1-1/128)}{0,5} = 96 \cdot \frac{127}{128} = 3 \cdot \frac{127}{4} = \frac{381}{4} = 95,25$. 9. $b_n = 6 \cdot (1/3)^n$. Первый член $b_1 = 6 \cdot 1/3 = 2$. Знаменатель $q = 1/3$. $S = \frac{2}{1 - 1/3} = \frac{2}{2/3} = 3$.