Коля и Оля не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно.

Давай разберемся с этой задачей. У нас есть дробь $\frac{2019}{2018}$ и два «правила» сокращения: - Правило Коли: $\frac{n}{d} \to \frac{n-3}{d-4}$ - Правило Оли: $\frac{n}{d} \to \frac{n-2}{d-3}$ Заметим важную особенность: при применении любого из этих правил разность между знаменателем и числителем остается неизменной. В начальной дроби: $2018 - 2019 = -1$. Значит, и в любой полученной дроби $\frac{n}{d}$ должно выполняться условие: $d - n = -1$, то есть $n = d + 1$. Пусть Коля применил свое правило $k$ раз, а Оля — $m$ раз. Всего они сделали 15 операций, значит $k + m = 15$. Посмотрим, как меняется числитель за одну операцию: - У Коли он уменьшается на 3. - У Оли он уменьшается на 2. За 15 операций числитель уменьшился на $3k + 2m$. Новый знаменатель по условию равен 1968. Выразим начальный знаменатель (2018) через новый (1968) и количество операций: - Коля уменьшает знаменатель на 4 за операцию. - Оля уменьшает знаменатель на 3 за операцию. Значит, $2018 - (4k + 3m) = 1968$. Получаем систему уравнений: $\begin{cases} k + m = 15 \\ 4k + 3m = 2018 - 1968 = 50 \end{cases}$ Выразим $m$ из первого уравнения: $m = 15 - k$. Подставим во второе: $4k + 3(15 - k) = 50$ $4k + 45 - 3k = 50$ $k = 5$ Тогда $m = 15 - 5 = 10$. Теперь найдем новый числитель: Начальный числитель был 2019. Он уменьшился на $3k + 2m = 3 \cdot 5 + 2 \cdot 10 = 15 + 20 = 35$. Новый числитель: $2019 - 35 = 1984$. Проверим: $1984 - 1968 = 16$. Разность не равна -1. Подожди, проверим условие еще раз. Дробь $\frac{2019}{2018}$. Разность: $2018 - 2019 = -1$. Знаменатель - числитель = -1. $d - n = -1 \implies n = d + 1$. Для итоговой дроби: $1968 - n = -1 \implies n = 1969$. Проверим: $3k + 2m = 2019 - 1969 = 50$. $4k + 3m = 2018 - 1968 = 50$. Вычитаем уравнения: $(4k + 3m) - (3k + 2m) = 50 - 50 = 0$. $k + m = 0$. Но у нас $k + m = 15$. Где ошибка? Ошибка в знаках разности. Коля: $\frac{n-3}{d-4}$. Разность $(d-4) - (n-3) = d - n - 4 + 3 = d - n - 1$. Разность уменьшается на 1. Оля: $\frac{n-2}{d-3}$. Разность $(d-3) - (n-2) = d - n - 3 + 2 = d - n - 1$. Разность также уменьшается на 1. За 15 операций разность уменьшится на 15. Была: $2018 - 2019 = -1$. Стала: $-1 - 15 = -16$. Значит, $1968 - n = -16$. $n = 1968 + 16 = 1984$. Ответ: 1984