В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 25, sin A = 4/5. Найдите длину стороны AC.

Решение задачи 9: 1. Дано: треугольник ABC, $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 25$, $\sin A = \frac{4}{5}$. 2. Косинус угла A можно найти через основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$. $\cos^2 A = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$. Так как угол А — острый, $\cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$. 3. В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos A = \frac{AC}{AB}$. 4. Подставим значения: $\frac{3}{5} = \frac{AC}{25}$. $AC = \frac{3 \cdot 25}{5} = 3 \cdot 5 = 15$. **Ответ: 15** Решение задачи 10: 1. Дано: равнобедренный треугольник, периметр $P = 16$, боковая сторона $a = 5$. 2. Пусть боковые стороны равны 5, тогда их сумма $5 + 5 = 10$. 3. Основание треугольника $b = P - (a + a) = 16 - 10 = 6$. 4. Проведем высоту к основанию. Она делит основание пополам, значит, отрезки равны $6 / 2 = 3$. 5. Высоту $h$ найдем по теореме Пифагора из образовавшегося прямоугольного треугольника (гипотенуза 5, катет 3): $h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$, откуда $h = 4$. 6. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$. **Ответ: 12**