Найдите боковую поверхность конуса, описанного вокруг пирамиды, у которой высота равна 20, а основанием является треугольник со стороной 12 и противолежащим углом 60°.

Решение заданий: 1. Найдем радиус $R$ описанной окружности около треугольника в основании пирамиды по теореме синусов: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{12}{2 \sin 60^{\circ}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$. Высота конуса $H = 20$. Образующая конуса $l = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 20^2} = \sqrt{48 + 400} = \sqrt{448} = 8\sqrt{7}$. Площадь боковой поверхности конуса: $S = \pi R l = \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{7} = 32\pi\sqrt{21}$. 2. Тангенс угла наклона образующей к плоскости основания равен отношению высоты $H$ к радиусу основания $R$. Из предыдущей задачи $H=20$, $R=4\sqrt{3}$, тогда $\text{tg } \alpha = \frac{20}{4\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$. 3. В правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания $d = 2a_{\text{half}}$, где $a_{\text{half}}$ - расстояние от центра до вершины основания. Боковое ребро $b=85$, высота $h=77$. По теореме Пифагора $a_{\text{half}} = \sqrt{b^2 - h^2} = \sqrt{85^2 - 77^2} = \sqrt{(85-77)(85+77)} = \sqrt{8 \cdot 162} = \sqrt{1296} = 36$. Диагональ основания $d = 2 \cdot 36 = 72$. 4. В равнобедренной трапеции основания 27 и 6, высота 9. Отрезок на большем основании, отсекаемый высотой, равен $\frac{27-6}{2} = 10,5$. Для нахождения двугранного угла при боковом ребре призмы нужно провести перпендикуляры к ребру. В такой трапеции тангенс угла при основании $\text{tg } \alpha = \frac{9}{10,5} = \frac{18}{21} = \frac{6}{7}$. Двугранный угол при ребре связан с углом при основании $\text{arctg}(\frac{6}{7})$. 5. Объем жидкости в цилиндрическом сосуде $V = S_{\text{осн}} \cdot h$. Известно $V_1 = S_{\text{осн}} \cdot 19 = 2600$, значит $S_{\text{осн}} = \frac{2600}{19}$. При погружении детали уровень поднялся на 3 см (до 22 см). Объем детали равен объему вытесненной жидкости: $V_{\text{дет}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h = \frac{2600}{19} \cdot 3 = \frac{7800}{19} \approx 410,53 \text{ см}^3$.