Найдите значение выражения 4^7/2^7 : 2^3. Используя формулы сокращённого умножения, вычислите 3,1^3 + 2,7 * 3,1^2 + 9,3 * 0,9^2 + 0,9^3. Катя младше Тани, но старше Даши...

1. Найдите значение выражения $\frac{4^7}{2^7} : 2^3$. Применим свойство степени (частное степеней с одинаковым показателем): $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. $(\frac{4}{2})^7 : 2^3 = 2^7 : 2^3$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$. $2^{7-3} = 2^4 = 16$ **Ответ: 16** 2. Используя формулы сокращённого умножения, вычислите $3,1^3 + 2,7 \cdot 3,1^2 + 9,3 \cdot 0,9^2 + 0,9^3$. Заметим, что выражение напоминает формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Преобразуем слагаемые: $3,1^3 + 3 \cdot 0,9 \cdot 3,1^2 + 3 \cdot 3,1 \cdot 0,9^2 + 0,9^3 = (3,1 + 0,9)^3$ $4^3 = 64$ **Ответ: 64** 3. Анализ условий: - Катя младше Тани ($K < T$) - Катя старше Даши ($K > D$) - Маша не младше Даши ($M \geq D$) Из первых двух условий: $D < K < T$ (Таня старше Даши). Проверим утверждения: 1) Таня и Даша одного возраста — неверно ($D < T$). 2) Среди названных четырёх девочек нет никого младше Даши — верно ($D$ самая младшая или одна из младших вместе с Машей). 3) Таня старше Даши — верно ($T > D$). 4) Таня и Катя одного возраста — неверно ($K < T$). **Ответ: 23** 4. Дано: $\triangle ABC$, $AB=AC=AD$, $AD$ — биссектриса $\angle BAC$. $\angle BDC = 160^{\circ}$. Найти $\angle BAC$. Пусть $\angle BAC = 2\alpha$, тогда $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$. В $\triangle ABD$ стороны $AB=AD$, значит он равнобедренный: $\angle ADB = \frac{180 - \alpha}{2} = 90 - 0,5\alpha$. Аналогично в $\triangle ACD$ ($AC=AD$): $\angle ADC = \frac{180 - \alpha}{2} = 90 - 0,5\alpha$. Угол $\angle BDC$ является суммой или разностью этих углов в зависимости от расположения. По условию $\angle BDC = 160^{\circ}$, что больше любого из углов при основании в треугольниках. Следовательно, $\angle BDC = \angle ADB + \angle ADC$. $160 = (90 - 0,5\alpha) + (90 - 0,5\alpha)$ $160 = 180 - \alpha$ $\alpha = 20^{\circ}$ $\angle BAC = 2\alpha = 40^{\circ}$ **Ответ: 40**