Две стороны треугольника равны 5 и 7. Найдите его периметр, если точка касания вписанной в треугольник окружности делит его третью сторону в отношении 2 : 3.

Question

Вопрос:

Две стороны треугольника равны 5 и 7. Найдите его периметр, если точка касания вписанной в треугольник окружности делит его третью сторону в отношении 2 : 3.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся свойством отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности: они равны. Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AB = 5$ и $BC = 7$. Окружность касается стороны $AC$ в точке $K$, причём $AK : KC = 2 : 3$. Обозначим части третьей стороны через $2x$ и $3x$, тогда $AK = 2x$ и $KC = 3x$. 1. Пусть точки касания на сторонах $AB$ и $BC$ — это $M$ и $N$ соответственно. 2. По свойству касательных: $AM = AK = 2x$; $CN = CK = 3x$; $BM = BN = y$. 3. Составим систему уравнений по известным сторонам: $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$ 4. Вычтем из второго уравнения первое: $(3x + y) - (2x + y) = 7 - 5$ $x = 2$ 5. Найдём длину третьей стороны $AC$: $AC = 2x + 3x = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ 6. Найдём периметр $P$: $P = AB + BC + AC = 5 + 7 + 10 = 22$ **Ответ: 22**.

Две стороны треугольника равны 5 и 7. Найдите его периметр, если точка касания вписанной в треугольник окружности делит его третью сторону в отношении 2 : 3.

Ответ ассистента

Другие решения