Тест 14. Признаки подобия треугольников. Вариант 2. Решите задачи А1-А4 и В1.

### Решение заданий теста № 14 (Вариант 2) **А1.** Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AD = 5$ см, $BC = 2$ см, $AO = 25$ см. Чему равен отрезок $BO$? Треугольники $OBC$ и $OAD$ подобны по двум углам ($∠O$ — общий, $∠OBC = ∠OAD$ как соответственные при $BC ∥ AD$). Из подобия следует: $\frac{BC}{AD} = \frac{BO}{AO} \Rightarrow \frac{2}{5} = \frac{BO}{25} \Rightarrow BO = \frac{2 \cdot 25}{5} = 10$ (см). **Ответ: 4) 10 см** **А2.** Прямая, параллельная стороне $MN$ треугольника $MNK$, пересекает стороны $KM$ и $KN$ в точках $E$ и $F$ соответственно, $KE = 6$ см, $KM = 10$ см, $KF = 9$ см, $KN = 15$ см, $MN = 20$ см. Чему равна сторона $EF$? Треугольники $KEF$ и $KMN$ подобны по двум углам ($∠K$ — общий, $∠KEF = ∠KMN$ как соответственные при $EF ∥ MN$). Коэффициент подобия: $k = \frac{KE}{KM} = \frac{6}{10} = 0,6$. Тогда $EF = MN \cdot k = 20 \cdot 0,6 = 12$ (см). **Ответ: 3) 12 см** **А3.** В прямоугольном треугольнике $ABC$ $∠A = 40^∘$, $∠B = 90^∘$, а в треугольнике $MNK$ углы $M, N, K$ относятся как $5 : 9 : 4$, $BC = 10$ см, $NM = 15$ см. Чему равно отношение $AC$ к $KM$? 1. В $\triangle ABC$: $∠C = 180^∘ - 90^∘ - 40^∘ = 50^∘$. 2. В $\triangle MNK$ сумма углов $5x + 9x + 4x = 180^∘ \Rightarrow 18x = 180^∘ \Rightarrow x = 10^∘$. Углы: $∠M = 50^∘, ∠N = 90^∘, ∠K = 40^∘$. 3. $∠A = ∠K = 40^∘, ∠B = ∠N = 90^∘ — \triangle ABC ∼ \triangle KNM$ по двум углам. Отношение соответственных сторон $AC$ и $KM$: $\frac{AC}{KM} = \frac{BC}{NM} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$. **Ответ: 2) 2 : 3** **А4.** В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 30$ см. На стороне $AB$ отложен отрезок $AD = 6$ см, а на стороне $AC$ — отрезок $AE = 8$ см. Чему равна длина отрезка $DE$, если $BD = 9$ см, $CE = 12$ см? 1. $AB = AD + BD = 6 + 9 = 15$ см. $AC = AE + CE = 8 + 12 = 20$ см. 2. Проверим подобие $\triangle ADE$ и $\triangle ABC$: $\frac{AD}{AB} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ и $\frac{AE}{AC} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$. 3. Так как $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ и $∠A$ — общий, то $\triangle ADE ∼ \triangle ABC$ по второму признаку подобия. 4. $DE = BC \cdot \frac{2}{5} = 30 \cdot \frac{2}{5} = 12$ (см). **Ответ: 1) 12 см** **В1.** Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$. Периметры треугольников $BOC$ и $AOD$ относятся как $3 : 5$, $BD = 24$. Найдите длины отрезков $BO$ и $OD$. 1. $\triangle BOC ∼ \triangle DOA$ по двум углам ($∠BOC = ∠DOA$ как вертикальные, $∠OBC = ∠ODA$ как накрест лежащие при $BC ∥ AD$). 2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $k = \frac{P_{BOC}}{P_{AOD}} = \frac{3}{5}$. 3. Значит, $\frac{BO}{OD} = \frac{3}{5}$. Пусть $BO = 3x, OD = 5x$. 4. $BD = BO + OD = 3x + 5x = 8x = 24 \Rightarrow x = 3$. 5. $BO = 3 \cdot 3 = 9$, $OD = 5 \cdot 3 = 15$. **Ответ: BO = 9; OD = 15.**