В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите бо́льшую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°.

Question

Вопрос:

В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите бо́льшую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. **Найдём вторую диагональ основания.** В параллелограмме (основании) сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$. Пусть $a = 3$, $b = 5$, $d_1 = 4$. Тогда: $4^2 + d_2^2 = 2(3^2 + 5^2)$ $16 + d_2^2 = 2(9 + 25)$ $16 + d_2^2 = 68$ $d_2^2 = 52$ $d_2 = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см. Сравним диагонали основания: $d_1 = 4$ см ($\sqrt{16}$), $d_2 = \sqrt{52}$ см. Значит, $d_1$ — меньшая диагональ основания. 2. **Найдём высоту параллелепипеда ($h$).** Меньшая диагональ параллелепипеда опирается на меньшую диагональ основания ($d_1$). Из прямоугольного треугольника, образованного меньшей диагональю параллелепипеда, её проекцией ($d_1$) и высотой ($h$): $h = d_1 \cdot \tan(60^{\circ}) = 4 \cdot \sqrt{3}$ см. 3. **Найдём большую диагональ параллелепипеда ($D$).** Большая диагональ параллелепипеда опирается на большую диагональ основания ($d_2$). По теореме Пифагора: $D^2 = d_2^2 + h^2$ $D^2 = 52 + (4\sqrt{3})^2$ $D^2 = 52 + 48$ $D^2 = 100$ $D = 10$ см. **Ответ: 10 см**.

Ответ ассистента

Другие решения