3. Игральная кость брошена 2 раза. Х1 и Х2 — количество очков, выпавших на верхних гранях. События: А={-2<Х1-Х2<2}, B={Х1=2Х2} Зависимы ли события А и В?

Для решения задачи определим вероятности событий $A$ и $B$ и вероятность их совместного появления $P(A \cap B)$. При броске игральной кости 2 раза общее число исходов равно $6 \times 6 = 36$. 1. Событие $A = \{-2 < X_1 - X_2 < 2\}$, что равносильно $|X_1 - X_2| < 2$, или $X_1 - X_2 \in \{-1, 0, 1\}$, то есть $X_1 = X_2$ или $|X_1 - X_2| = 1$. - Случаи $X_1 = X_2$: $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ — 6 вариантов. - Случаи $|X_1 - X_2| = 1$: $(1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5)$ — 10 вариантов. - Всего благоприятных исходов для $A$: $6 + 10 = 16$. - $P(A) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$. 2. Событие $B = \{X_1 = 2X_2\}$. - Благоприятные исходы: $(2,1), (4,2), (6,3)$ — 3 варианта. - $P(B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. 3. Совместное событие $A \cap B$ (должны выполняться условия обоих событий): - Проверим исходы $B$ на удовлетворение условию $A$ ($-2 < X_1 - X_2 < 2$): - $(2,1)$: $X_1 - X_2 = 1$. Условие $-2 < 1 < 2$ верно. - $(4,2)$: $X_1 - X_2 = 2$. Условие $-2 < 2 < 2$ ложно. - $(6,3)$: $X_1 - X_2 = 3$. Условие $-2 < 3 < 2$ ложно. - Только один исход $(2,1)$ удовлетворяет обоим событиям. - $P(A \cap B) = \frac{1}{36}$. 4. Проверка на независимость: - Если события независимы, то $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. - $P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{27}$. - Так как $\frac{1}{36} \neq \frac{1}{27}$, то события $A$ и $B$ зависимы. **Ответ:** События зависимы.