1) Вычислить: 1) 32^(1/5) * 64^(1/3) - 125^(1/3);

Привет! Давай разберем задания из твоей контрольной работы. Будем решать по порядку. ### 1. Вычислить 1) $32^{1/5} \cdot 64^{1/3} - 125^{1/3} = (2^5)^{1/5} \cdot (4^3)^{1/3} - (5^3)^{1/3} = 2 \cdot 4 - 5 = 8 - 5 = 3$. 2) $\log_{12}\frac{1}{2} + \log_{12}\frac{1}{72} = \log_{12}(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{72}) = \log_{12}\frac{1}{144} = \log_{12}(12^{-2}) = -2$. 3) $\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}} = \sqrt[4]{\frac{1024}{4}} = \sqrt[4]{256} = 4$. 4) $5 \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - 6 \cos\frac{\pi}{3} = 5 \cdot 1 - 6 \cdot 0,5 = 5 - 3 = 2$. ### 2. Решить задачу Всего крупы: 900 г. На одну порцию: 45 г. Количество порций по крупе: $900 / 45 = 20$ порций. Всего молока: 3 л. На одну порцию: 0,12 л. Количество порций по молоку: $3 / 0,12 = 25$ порций. Так как крупы хватит только на 20 порций, столовая может приготовить **20 порций**. ### 3. Решить уравнение 1) $\sqrt[3]{2x+8} = -1 \Rightarrow 2x+8 = -1 \Rightarrow 2x = -9 \Rightarrow x = -4,5$. 2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 3) $5^{x-1} = 0,2 \Rightarrow 5^{x-1} = 5^{-1} \Rightarrow x-1 = -1 \Rightarrow x = 0$. 4) $\log_3(2x-1) = 0 \Rightarrow 2x-1 = 3^0 = 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$. ### 4. Решить неравенство 1) $2^{3x+6} \le (\frac{1}{2})^{x-1} \Rightarrow 2^{3x+6} \le 2^{-(x-1)} \Rightarrow 3x+6 \le -x+1 \Rightarrow 4x \le -5 \Rightarrow x \le -1,25$. 2) $(8-x)(2x+6) \le 0$. Корни: $x=8, x=-3$. Метод интервалов: $(-\infty; -3] \cup [8; +\infty)$. 3) $\log_5(3x+1) < 2 \Rightarrow 0 < 3x+1 < 5^2 \Rightarrow -1 < 3x < 24 \Rightarrow -1/3 < x < 8$. ### 5. Цилиндр 1) Ось цилиндра — отрезок $OO_2$ (соединяет центры оснований). 2) Образующие — все вертикальные отрезки, соединяющие окружности (например, отрезки на боковой поверхности, параллельные оси). 3) Радиус — отрезок от центра основания до любой точки окружности (например, $O_2A$). 4) $V = \pi R^2 H$. Если $D=4$, то $R=2$. $V = \pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 24\pi \approx 75,4$ см$^3$. ### 6. Векторы $\vec{a}(6;1;-4), \vec{b}(4;-3;0), \vec{c}(1;2;-3)$ 1) $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c} = (6+4-1; 1-3-2; -4+0-(-3)) = (9; -4; -1)$. 2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 4 + 1 \cdot (-3) + (-4) \cdot 0 = 24 - 3 + 0 = 21$. 3) $\cos(\vec{a}, \vec{c}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}| |\vec{c}|} = \frac{6\cdot1 + 1\cdot2 + (-4)\cdot(-3)}{\sqrt{6^2+1^2+(-4)^2} \cdot \sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}} = \frac{6+2+12}{\sqrt{53} \cdot \sqrt{14}} = \frac{20}{\sqrt{742}}$. ### 7. Производная 1) $f'(x) = -6x^5 + 3e^x + 4$. 2) $f'(x) = 5x^4 \cdot \sin x + x^5 \cdot \cos x$. 3) $f'(x) = 3(1+3x)^2 \cdot 3 = 9(1+3x)^2$. ### 8. Первообразная 1) $F(x) = \sin x - \ln|x| + C$. 2) $F(x) = x^4 - 2x^3 - 5x + C$. ### 9. Наибольшее и наименьшее значение $y = -x^3 + 3x^2 + 4$ на $[-3; 3]$ $y' = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)$. Критические точки: $x=0, x=2$. Обе точки входят в $[-3; 3]$. $f(-3) = -(-27) + 3(9) + 4 = 27 + 27 + 4 = 58$ (наибольшее). $f(0) = 4$. $f(2) = -8 + 3(4) + 4 = -8 + 12 + 4 = 8$. $f(3) = -27 + 3(9) + 4 = 4$ (наименьшее). Ответ: max=58, min=4.